Speciale unitaire groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad $n$, genoteerd als $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$, de groep van unitaire $n\times n$-matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een deelgroep van de unitaire groep $\mathrm{U}(n)$ van unitaire $n\times n$-matrices, die zelf weer een deelgroep is van de algemene lineaire groep $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℂ)$.

De groepen $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ vinden een brede toepassing in het standaardmodel in de natuurkunde, speciaal de $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ in de elektro-zwakke interactie en $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$ in de kwantumchromodynamica.

Het simpelste geval, $\mathrm{S}\mathrm{U}(1)$, is de triviale groep, die slechts één enkel element heeft. De groep $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ is isomorf met de groep van de quaternionen met absolute waarde gelijk aan 1, en zijn dus diffeomorf met de 3-sfeer. Aangezien eenheidsquaternionen worden gebruikt om rotaties in de driedimensionale ruimte weer te geven, hebben we een surjectief homomorfisme van $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ met de rotatiegroep $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$, waarvan de kern gelijk is aan $\{+I,-I\}$.

Eigenschappen

De speciale unitaire groep $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ is een reële matrix lie-groep van dimensie $n^2-1$. Topologisch is de speciale unitaire groep compact en enkelvoudig samenhangend. Algebraïsch is het een enkelvoudige lie-groep (dit betekent dat zijn lie-algebra enkelvoudig is; zie onder). Het centrum van $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ is isomorf met de cyclische groep ${\mathbb{Z}}_n$. De uitwendige automorfismegroep, voor $n\ge 3$, is ${\mathbb{Z}}_2$, terwijl de uitwendige automorfismegroep voor $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ de triviale groep is.

De $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ wordt als algebra gegenereerd door $n^2$ operatoren die voor $i,j,k,l=1,2,\dots ,n$ voldoen aan de commutatorrelatie

$[{\hat{O}}_{ij},{\hat{O}}_{kl}]={\delta }_{jk}{\hat{O}}_{il}-{\delta }_{il}{\hat{O}}_{kj}$

In aanvulling hierop moet de operator

$\hat{N}=\sum _{i=1}^n{\hat{O}}_{ii}$

voldoen aan

$[\hat{N},{\hat{O}}_{ij}]=0$,

wat impliceert dat het aantal onafhankelijke generatoren van $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$ gelijk is aan $n^2-1$.

SU(2)

Een algemene $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$-matrix heeft de vorm

$U=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b^{*}& a^{*}\end{array}\right)$,

waarin $*$ staat voor de complex geconjugeerde en $a$ en $b$ complexe getallen zijn met

$|a{|}^2+|b{|}^2=1$

In de definiërende representatie zijn de generatoren $T_a$ proportioneel aan de Pauli-matrices ${\sigma }_a$ via:

$T_a=\frac{{\sigma }_a}{2}$

waarin:

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.

De structuurconstanten voor $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ worden gedefinieerd door het Levi-Civita-symbool

$f^{123}=1$

De rest kan worden bepaald door antisymmetrie. Alle $d$-waarden verdwijnen.

SU(3)

De generatoren $T$ van $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$ worden in de definiërende representatie gegeven door:

$T_a=\frac{{\lambda }_a}{2}$

waarin de Gell-Mann-matrices $\lambda$ voor $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$ het analogon zijn van de pauli-matrix voor $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$:

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.

Dit voldoet aan de relaties

$[T_a,T_b]=i\sum _{c=1}^8{f}_{abc}{T}_c$

waarin de structuurconstanten worden gegeven door

$f^{123}=1$

$f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}=\frac{1}{2}$

$f^{458}=f^{678}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

De $d$-waarden zijn:

$d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

$d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-\frac{1}{6}\sqrt{3}$

$d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}=\frac{1}{2}$