Gell-Mann-matrices

De Gell-Mann-matrices zijn acht lineair onafhankelijke hermitische 3×3-matrices met spoor 0 die een mogelijke representatie van de infinitesimale generatoren van de speciale unitaire groep $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$ vormen. Zij zijn genoemd naar de Amerikaanse natuurkundige Murray Gell-Mann en worden gebruikt in de studie van de sterke wisselwerking in de deeltjesfysica en het quarkmodel en, in mindere mate, in de kwantumchromodynamica.

Definitie

De Gell-Mann-matrices ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_8$ zijn de acht 3×3-matrices:

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

Deze matrices hebben een spoor gelijk aan 0 en zijn hermitisch en onderling orthogonaal met betrekking tot het (gewone) frobenius-inproduct:

$⟨{\lambda }_i,{\lambda }_j{⟩}_F=\sum _{p.q}{\overline{\lambda }}_{ipq}{\lambda }_{jpq}=\mathrm{sp}({\lambda }_i{\lambda }_j)=2{\delta }_{ij}$

Deze eigenschappen werden gekozen door Gell-Mann, omdat zij dan de eigenschappen van de pauli-matrices generaliseren.

De groep $\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$ is een reële lie-algebra van dimensie acht, en de Gell-Mann-matrices vormen een representatie daarvan en zijn lineair onafhankelijke generatoren, die voldoen aan de commutatierelaties

$[{\lambda }_p,{\lambda }_q]=2i\sum _k{f}^{pqk}{\lambda }_k$

De structuurconstanten $f^{ijk}$ zijn volledig antisymmetrisch in de drie indices en hebben dus als gevolg van de jacobi-identiteit de waarde 0, tenzij er een oneven aantal indices uit de getallen 2, 5 en 7 komt. In die gevallen zijn de waarden:

$f^{123}=1$

$f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}=\frac{1}{2}$

$f^{458}=f^{678}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

In deze voorstelling vormen de lineaire combinaties (met reële coëfficiënten) van de twee matrices ${\lambda }_3$ en ${\lambda }_8$, die met elkaar commuteren, de cartan-deelalgebra. Er zijn 3 onafhankelijke $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ deelgroepen: $\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\},\{{\lambda }_4,{\lambda }_5,x\}$ en $\{{\lambda }_6,{\lambda }_7,y\}$, waarin $x$ en $y$ lineaire combinaties van ${\lambda }_3$ en ${\lambda }_8$ zijn.

Zie ook

• Unitaire groepen
• kleurlading en Kwantumchromodynamica

Referenties

• Sjabloon:En Lie algebra's in particle physics, door Howard Georgi (ISBN 0-7382-0233-9)