Genererende verzameling

In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep $G$ een deelverzameling $S\subseteq G$, zodat elk element van $G$ kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van $S$ en hun inversen. Het gaat hier om het product bepaald door de bewerking die er tussen de elementen in $G$ is gedefinieerd. Als $G$ door $S$ wordt gegenereerd, schrijft men $G=⟨S⟩$. De elementen van $S$ worden de voortbrengers van $G$ genoemd.

Andersom, als $S$ een deelverzameling is van een groep $G$, dan is $⟨S⟩$, de ondergroep gegenereerd door $S$ de kleinste ondergroep van $G$ die elk element van $S$ bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle ondergroepen die elk element van $S$ bevatten. Dat komt ermee overeen dat $⟨S⟩$ de ondergroep is van alle elementen van $G$ die als het eindige product van de elementen van $S$ en hun inversen kunnen worden geschreven.

Als er maar een enkel element $x\in G$ deel uitmaakt van $S$, wordt $⟨S⟩$ meestal geschreven als $⟨x⟩$. In dat geval is $G=⟨x⟩$, is $x$ de voortbrenger van $G$ en is $G$ een cyclische groep van de machten van $x$.

De orde $\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(x_i)$ van een element $x_i\in S$ kan op twee manieren worden gedefinieerd: als het aantal elementen van $⟨x_i⟩$ en als het kleinste positieve gehele getal $m_i$ zodat $x^{m_i}=e$, waarin $e$ het neutrale element van $⟨x_i⟩$ is. $G$ kan met de tweede definitie als een verzameling worden geschreven. Gegeven dat

$G=⟨S⟩=⟨x_1,\cdots ,x_n⟩$

is

$G=\{x_1^{m_1}{x}_2^{m_2}\cdots x_n^{m_n}\mid x_i\in S\text{en}0\le m_j<\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(x_j)\}$

Altijd is $x^0=e$ en $⟨e⟩$ is de groep met alleen het neutrale element $e$.

Voorbeelden

• De multiplicatieve groep $U_9=\{1,2,4,5,7,8\}$ is de groep van de gehele getallen die met 9 onderling ondeelbaar zijn. $\{7\}$ is geen genererende verzameling van $U_9$, omdat

$\{7^{i}mod9|i\in \mathbb{N}\}=\{7,4,1\}\ne U_9$

$\{2\}$ is wel een genererende verzameling van $U_9$:

$\{2^{i}mod9|i\in \mathbb{N}\}=\{2,4,8,7,5,1\}$

• De groep $(\mathbb{Z},+)$ wordt door een element voortgebracht, maar de groepen $(\mathbb{Q},+)$, $(ℝ,+)$ en $(ℂ,+)$ zijn niet eindig voortgebracht.