Orde (groepentheorie)

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, heeft orde twee nauw verwante betekenissen:

• de orde van een groep is gelijk aan de kardinaliteit, dat wil zeggen het aantal elementen van de groep;
• de orde, soms periode, van een element $g$ van een groep is het kleinste positieve gehele getal $m$, zodat $g^m=e$, waarin $e$ het neutrale element van de groep is. Als zo'n $m$ niet bestaat, zegt men dat $g$ een oneindige orde heeft. Alle elementen van eindige groepen zijn van een eindige orde.

De orde van de groep $G$ wordt genoteerd als $|G|$, of ook wel als $\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(G)$, en de orde van een element $g\in G$ door $\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(g)$.

Voorbeelden

• De symmetriegroep ${\mathrm{S}}_6$ heeft als elementen de 6 permutaties van 3 objecten, dus $\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}({\mathrm{S}}_6)=6$. De groep heeft de onderstaande cayley-tabel.

*	$e=123$	$s=132$	$t=213$	$u=231$	$v=312$	$w=321$
$e$	$ee=123=e$	$se=132=s$	$te=213=t$	$ue=231=u$	$ve=312=v$	$we=321=w$
$s$	$es=132=s$	$ss=123=e$	$ts=231=u$	$us=213=t$	$vs=321=w$	$ws=312=v$
$t$	$et=213=t$	$st=312=v$	$tt=123=e$	$ut=321=w$	$vt=132=s$	$wt=231=u$
$u$	$eu=231=u$	$su=321=w$	$tu=132=s$	$uu=312=v$	$vu=123=e$	$wu=213=t$
$v$	$ev=312=v$	$sv=213=t$	$tv=321=w$	$uv=123=e$	$vv=231=u$	$wv=132=s$
$w$	$ew=321=w$	$sw=231=u$	$tw=312=v$	$uw=132=s$	$vw=213=t$	$ww=123=e$

De orde van het neutrale element $e$ is gelijk aan 1.

De elementen $s,t$ en $w$ zijn involuties, ze hebben orde 2.

Zowel $u$ als $v$ hebben orde 3, want

$u^3=u^{2}u=vu=e$

$v^3=v^{2}v=uv=e$

• Een groep waarin alle elementen, behalve het neutrale element waarvan de orde 1 is, van de orde 2 zijn, dus involuties zijn, is commutatief.

$ab=(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}=ba$