Lie-algebra

In de wiskunde is een lie-algebra een algebraïsche structuur die voornamelijk wordt gebruikt in de studie van meetkundige objecten, zoals lie-groepen en differentieerbare variëteiten. Lie-algebra's werden geïntroduceerd in het kader van de studie van het concept van de infinitesimale transformaties. De term "lie-algebra", werd in de jaren dertig van de twintigste eeuw ingevoerd door Hermann Weyl. Lie-algebra's zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Sophus Lie, die de basis legde voor de studie hiervan.

Definitie

Een lie-algebra $𝔤$ is een algebra over een lichaam (NL)/veld (B) $F$, met als binaire operatie op de vectorruimte $𝔤$ de zogeheten lie-haak:

$[\cdot ,\cdot ]:𝔤\times 𝔤\to 𝔤$

die voldoet aan de volgende axioma's:

• Bilineariteit:

$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

voor alle scalairen $a,b\in F$ en voor alle elementen $x,y,z\in 𝔤.$

• Anticommutativiteit, of scheef-symmetrie:

$[x,x]=0$

voor alle $x\in 𝔤.$

Als de karakteristiek van $F$ verschillend is van 2, is dit gelijkwaardig met de eis dat

$[x,y]=-[y,x]$

voor alle $x,y\in 𝔤.$

• De jacobi-identiteit:

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$

voor alle $x,y,z\in 𝔤.$

Associatieve algebra

Voor elke associatieve algebra $A$ met vermenigvuldiging $*$, kan men een lie-algebra $L(A)$ construeren. Als vectorruimte is $L(A)$ gelijk aan $A$ en de lie-haak wordt gedefinieerd als de commutator in $A$:

$[a,b]=a*b-b*a.$

De associativiteit van de vermenigvuldiging $*$ in $A$ impliceert de jacobi-identiteit van de commutator in $L(A)$. In het bijzonder geeft de associatieve algebra van $n\times n$-matrices over een lichaam/veld $F$ aanleiding tot de algemene lineaire lie-algebra ${𝔤𝔩}_n(F)$. De associatieve algebra $A$ wordt de omhullende algebra van de lie-algebra $L(A)$ genoemd. Het is bekend dat elke lie-algebra op die manier kan worden ingebed in een algebra die ontstaat uit een associatieve algebra. Zie universele omhullende algebra.

Andere voorbeelden

Het bijzondere geval waarbij $[x,y]$ steeds 0 is, voldoet op triviale wijze aan de axioma's en heet de commutatieve of abelse lie-algebra.

Het vectorproduct maakt van de driedimensionale coördinatenruimte $K^3$ over een willekeurig lichaam $K$, een lie-algebra.

Als $M$ een gladde variëteit is, en $TM$ haar raakbundel, dan vormen de sneden van $TM$ een reële vectorruimte. De lie-haak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de lie-algebra van een lie-groep.

Representatiestelling

Elke lie-algebra is isomorf met een deelalgebra van de lineaire transformaties van een vectorruimte, uitgerust met de commutatorhaak $[.,.]$