Algemene lineaire groep

In de wiskunde is de algemene lineaire groep van de orde $n$ over een unitaire ring $R$ , aangeduid door $G L (n, R)$ of ${G L}_{n} (R)$ , de groep van de inverteerbare n×n-matrices met elementen in $R$ , met als groepsbewerking de matrixvermenigvuldiging. In veel gevallen zal $R$ een lichaam NL / veld B zijn. Doordat het product van twee inverteerbare matrices opnieuw inverteerbaar is en de inverse van een inverteerbare matrix ook weer kan worden geïnverteerd, is $G L (n, R)$ inderdaad een groep. De algemene lineaire groepen $G L (n, R)$ worden in de groepentheorie bestudeerd, waarbij hun groepsrepresentatie met behulp van matrices goed kan worden gebruikt.

Als de ring $R$ een eindig lichaam $𝔽_{q}$ is met $q$ een priemgetal of een macht van een priemgetal, schrijft men wel $G L (n, q)$ in plaats van $G L (n, R)$ . Als uit de context blijkt dat de ring $R$ het lichaam/veld $ℝ$ van de reële getallen of $ℂ$ van de complexe getallen is, wordt ook alleen $G L (n)$ of ${G L}_{n}$ geschreven.

De groep $G L (n, R)$ is voor alle $n \geq 2$ is niet commutatief. De groep $G L (1, R)$ is commutatief als $R$ een commutatieve ring is.

De speciale lineaire groep, geschreven als $S L (n, R)$ of ${S L}_{n} (R)$ , is de ondergroep van $G L (n, R)$ van de matrices met determinant gelijk aan 1.

De groepen $G L (n, R)$ en hun ondergroepen worden vaak lineaire groepen of matrixgroepen genoemd, onder de voorwaarde dat $G L (R)$ een groep is. Wanneer dit het geval is, is $G L (R)$ een lineaire groep, maar geen matrixgroep. De modulaire groep kan als een factorgroep van de speciale lineaire groep $S L (2, ℤ)$ worden geconstrueerd.

Bronnen

Sjabloon:En Sjabloon:Aut voor de Encyclopedia of Mathematics. General linear group. ISBN 978-1-55608-010-4
Sjabloon:En MathWorld. General Linear Group.

Algemene lineaire groep

Bronnen

Navigatiemenu

Zoeken