Lineaire combinatie

In de lineaire algebra is een lineaire combinatie $w$ van eindig veel elementen $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ uit een vectorruimte $V$ over een Lichaam (Ned) / veld (Be) $K$ , een som van veelvouden van deze elementen. Meer precies heet $w$ een lineaire combinatie van $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ als:

w = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + \dots + a_{n} u_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} u_{i} m e t a_{i} \in K

De lineaire combinaties van de vectoren $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ vormen juist de lineaire deelruimte die door die vectoren wordt voortgebracht.

Ook voor een willekeurige deelverzameling $U \subset V$ heet $w$ een lineaire combinatie van $U$ als $w$ een lineaire combinatie is van eindig veel elementen uit $U$ . De lineaire combinaties van de vectoren uit $U$ vormen in dit geval de lineaire deelruimte die door $U$ wordt voortgebracht.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Laat het lichaam $K$ de verzameling $ℝ$ van de reële getallen zijn en laat de vectorruimte $V$ de euclidische ruimte $ℝ^{3}$ zijn. Beschouw de vectoren

e_{1} = (1, 0, 0), e_{2} = (0, 1, 0)

en

e_{3} = (0, 0, 1)

.

Dan is iedere vector in $ℝ^{3}$ een lineaire combinatie van $e_{1}, e_{2}$ en $e_{3}$ . Neem om dit in te zien een willekeurige vector $a = (1, 2, 3) \in ℝ^{3}$ en schrijf:

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a_{1}, 0, 0) + (0, a_{2}, 0) + (0, 0, a_{3}) = a_{1} (1, 0, 0) + a_{2} (0, 1, 0) + a_{3} (0, 0, 1) = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3} .

De vector $e_{3}$ is echter geen lineaire combinatie van $e_{1}$ en $e_{2}$ . Er zijn namelijk geen getallen $a_{1}$ en $a_{2}$ waarvoor

e_{3} = (0, 0, 1) = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} = a_{1} (1, 0, 0) + a_{2} (0, 1, 0) = (a_{1}, a_{2}, 0)

Lineaire combinatie

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Navigatiemenu

Zoeken