p-adische norm

De $p$-adische norm, gedefinieerd voor elk priemgetal $p$, is een gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen anders dan de gewone absolute waarde en de triviale absolute waarde. Het belang van de $p$-adische norm ligt in de introductie van p-adische getallen. Volgens de stelling van Ostrowski is elke gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen equivalent met de gewone absolute waarde, de triviale, of een $p$-adische norm.

Definitie

Als gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde zijn er bij een gegeven priemgetal $p$ voor elk rationaal getal $q$ gehele getallen $t,n$ en $a$ zo, dat:

$q=p^a\cdot \frac{t}{n}$

en $t$ en $n$ niet door $p$ kunnen worden gedeeld.

De $p$-adische norm van $q\ne 0$ is dan gedefinieerd als:

$\Vert q{\Vert }_p=p^{-a}$

Daarnaast is

$\Vert 0{\Vert }_p=0$

Bij elk rationaal getal $q$ zijn er priemgetallen $p_1,\dots ,p_n$ en gehele getallen $a_1,\dots ,a_n$ zo, dat:

$q=p_1^{a_1}\cdot \dots \cdot p_n^{a_n}$.

Dus is voor $k=1,\dots ,n$

$\Vert q{\Vert }_{p_k}=p_k^{-a_k}$

en voor ieder ander priemgetal $p$:

$\Vert q{\Vert }_p=1$

Voorbeelden

• De getallen ... −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, ... die niet door 5 kunnen worden gedeeld, hebben de 5-adische norm 5⁰ = 1.
• De getallen ... −10, −5, 5, 10, 15, 20, 30, ... zijn deelbaar door 5, maar niet door 25 en hebben dus de 5-adische norm $5^{-1}=\frac{1}{5}$.
• De getallen ... −50, −25, 25, 50, 75, 100, 150, ... hebben de 5-adische norm $5^{-2}=\frac{1}{25}$.
• ${\left|\left|\frac{7}{250}\right|\right|}_5=5^3=125$, vanwege de factor $5^3$ in de noemer.
• Voor $x=\frac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}$ geldt:

$\Vert x{\Vert }_2=2,\Vert x{\Vert }_3=\frac{1}{9},\Vert x{\Vert }_5=25,\Vert x{\Vert }_7=\frac{1}{7},\Vert x{\Vert }_{11}=11$

$|x{|}_p=1$ voor alle andere priemgetallen $p$.

• Cauchyrijen

Het hangt af van de gebruikte metriek of een rij al dan niet een cauchyrij is, .

De reeks $1+5+5^2+5^3+\dots +5^n+\dots$ is normaal niet convergent, maar in de 5-adische norm wel. De som van de eerste $n$ termen is

$\frac{1-5^n}{1-5}=-\frac{1}{4}+\frac{5^n}{4}$.

De 5-adische norm van de laatste term is $5^{-n}$. De 5-adische limiet van deze reeks is gelijk aan $-\frac{1}{4}$.

Niet-archimedisch

De $p$-adische normen hebben een sterkere ongelijkheid dan de driehoeksongelijkheid:

$\Vert x\pm y{\Vert }_p\le \max (\Vert x{\Vert }_p,\Vert y{\Vert }_p)$

Een ultrametriek wordt door een dergelijke ongelijkheid bepaald. De bijbehorende metriek is dus een ultrametriek.

Uit deze ongelijkheid volgt meteen dat $\Vert nx{\Vert }_p\le \Vert x{\Vert }_p$ met $n\in \mathbb{N}$. Men zegt in dit verband dat de p-adische norm niet-archimedisch is. Een belangrijk gevolg hiervan betreft de convergentie van oneindige reeksen. In ${\mathbb{Q}}_p$, en meer algemeen in elke complete ruimte met een niet-archimedische norm, is een oneindige reeks alleen dan convergent als haar algemene term naar nul gaat. Dit staat in schril contrast met de situatie in $ℝ$, waar de grens tussen convergente en divergente reeksen veel moeilijker te trekken valt.

Eigenschappen

$\Vert q{\Vert }_p\ge 0$

$\Vert q{\Vert }_p=0\Rightarrow q=0$

$\Vert -q{\Vert }_p=\Vert q{\Vert }_p$

$\Vert qr{\Vert }_p=\Vert q{\Vert }_p\Vert r{\Vert }_p$

$\Vert q+r{\Vert }_p\le \Vert q{\Vert }_p+\Vert r{\Vert }_p$

$\Vert q+r{\Vert }_p\le \max (\Vert q{\Vert }_p,\Vert r{\Vert }_p)$

Metriek

De $p$-adische norm induceert op $\mathbb{Q}$ een $p$-adische metriek, een ultrametriek, door de afstandsfunctie met isometrische translaties

$d_p(a,b)=\Vert a-b{\Vert }_p$

Beschouwen we de zo geconstrueerde 5-adische metriek, dan convergeert in $\mathbb{Q}$ de rij $(1,5,5^2,5^3,5^4,\dots )$ naar 0, terwijl de rij $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots )$ weliswaar begrensd is, maar geen cauchyrij is, want voor alle $n$ is:

$d_5(\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n+1}})={\Vert \frac{1}{2^{n+1}}\Vert }_5=1$