Stelling van Ostrowski

De stelling van Ostrowski is een stelling uit de getaltheorie die zegt dat elke niet-triviale absolute waarde op de rationale getallen equivalent is met ofwel de gebruikelijke absolute waarde of met een $p$-adische absolute waarde. De stelling werd in 1916 bewezen door Alexander Ostrowski.

Definitie

Voor elk priemgetal $p$ is de $p$-adische absolute waarde $|\cdot {|}_p$ gedefinieerd door:

$|x{|}_p=\{\begin{array}{cc}0,& \text{voor }x=0\\ \\ p^{-n},& \text{voor }x=p^n\frac{a}{b}\text{ met }a,b,p\text{ paarsgewijze onderling priem en }n\in \mathbb{Z}\end{array}$

Equivalentie

Twee absolute waarden $|\cdot |$ en $|\cdot {|}^{\prime }$ op een verzameling $V$ zijn equivalent, als voor alle $x\in V$ geldt:

$|x|<1⟺|x{|}^{\prime }<1$

Voor absolute waarden op een lichaam $K$ is deze eis gelijkwaardig met het bestaan van een reële constante $c>0$, zo, dat voor alle $x\in K$ geldt:

$|x{|}^{\prime }=|x{|}^c$

Stelling

Elke niet-triviale absolute waarde $|\cdot {|}_{\ast }$ op de rationale getallen $\mathbb{Q}$ is equivalent met de absolute waarde $|\cdot |$ of met een $p$-adische absolute waarde $|\cdot {|}_p$.

Bewijs

Er worden twee gevallen onderscheiden:

1. Er is een $n\in \mathbb{N}$ met $|n{|}_{\ast }>1$
2. Voor alle $n\in \mathbb{N}$ is $|n{|}_{\ast }\le 1$

Geval 1

Er is een $n\in \mathbb{N}$ met $|n{|}_{\ast }>1$. Nu is $|0{|}_{\ast }=0$ en $|1{|}_{\ast }^2=|1{|}_{\ast }$, zodat $|1{|}_{\ast }=1$, dus $n>1$.

Zij $b,k\in \mathbb{N}$ met $b>1$. Schrijf $b$-tallig:

$n^k=\sum _{i=0}^m{c}_i{b}^i$ met $c_i\in \{0,1,\dots ,b-1\}$ en $c_m>0$

Dan is

$n^k\ge b^m,$ dus $m\le k\frac{\log n}{\log b}$

Maar

$\begin{array}{cc}|n{|}_{\ast }^k& =|n^k{|}_{\ast }\le \sum _{i=0}^m|c_i{b}^i{|}_{\ast }\\ & \le (m+1)\underset{i}{\max }\{|c_i{b}^i{|}_{\ast }\}=(m+1)\underset{i}{\max }\{|c_i{|}_{\ast }|b{|}_{\ast }^i\}\\ & \le (m+1)\underset{i}{\max }\{|c_i{|}_{\ast }\}\max \{|b{|}_{\ast }^m,1\}\end{array}$

Nu is

$\underset{i}{\max }\{|c_i{|}_{\ast }\}\le {\max }_{k=0}^{b-1}\{|k{|}_{\ast }\}\le b$ en $|b^i{|}_{\ast }=|b{|}_{\ast }^i\le \max \{|b{|}_{\ast }^m,1\}$

dus

$|n{|}_{\ast }^k\le b(m+1)\max \{|b{|}_{\ast }^m,1\}\le b(k{\log }_{b}n+1)\max \{|b{|}_{\ast }^{k{\log }_{b}n},1\}$

Dus

$|n{|}_{\ast }\le (b(k{\log }_{b}n+1){)}^{\frac{1}{k}}\max \{|b{|}_{\ast }^{{\log }_{b}n},1\}$

Als $k\to \mathrm{\infty }$, volgt

$(b(k{\log }_{b}n+1){)}^{\frac{1}{k}}\to 1$

zodat

$|n{|}_{\ast }\le \max \{|b{|}_{\ast }^{{\log }_{b}n},1\}$

Samen met $|n{|}_{\ast }>1$ blijkt dus dat $|b{|}_{\ast }>1$ voor elke keuze van $b>1$ (anders zou $|b{|}_{\ast }^{{\log }_{b}n}\le 1$, zodat $|n{|}_{\ast }\le 1$). Bijgevolg moet voor iedere $a>1$ gelden $|a{|}_{\ast }>1$.

Dus is voor alle $b,a\in \mathbb{N}$:

$|a{|}_{\ast }\le |b{|}_{\ast }^{\frac{\log a}{\log b}}$

of herschreven

$\frac{\log |a{|}_{\ast }}{\log a}\le \frac{\log |b{|}_{\ast }}{\log b}$

Uit symmetrie volgt dan gelijkheid.

Omdat $b,a\in \mathbb{N}$ willekeurig zijn, is er een constante $c\in {ℝ}_{+}$ waarvoor

$\log |k{|}_{\ast }=c\log k$

d.w.z.

$|k{|}_{\ast }=k^c=|k{|}^c$

voor alle $k\in \mathbb{N},k>1$.

Dus is $|x{|}_{\ast }=|x{|}^c$ ook voor alle $x\in \mathbb{Q}$, waarmee de equivalentie is aangetoond.

Geval 2

Voor alle $n\in \mathbb{N}$ is $|n{|}_{\ast }\le 1$. Maar dan is er een priemgetal $p$, en dat is het enige, waarvoor $|p{|}_{\ast }<1$. Stel namelijk dat voor het priemgetal $q\ne p$ ook geldt dat $|q{|}_{\ast }<1$.

Kies dan $w\in \mathbb{N}$ zo, dat $|p{|}_{\ast }^w<\frac{1}{2}$ en $|q{|}_{\ast }^w<\frac{1}{2}$. Volgens het algoritme van Euclides zijn er gehele getallen $a,b$ waarvoor $a{p}^w+b{q}^w=1$. Dan volgt

$1=|1{|}_{\ast }\le |a{|}_{\ast }|p{|}_{\ast }^w+|b{|}_{\ast }|q{|}_{\ast }^w<\frac{|a{|}_{\ast }+|b{|}_{\ast }}{2}\le 1$

wat een tegenspraak inhoudt.

Elke $n\in \mathbb{N}$ is het product van priemgetallen, dus:

$|n{|}_{\ast }={\left|\prod _{i<r}{p}_i^{m_i}\right|}_{\ast }=\prod _{i<r}|p_i{|}_{\ast }^{m_i}=|p{|}_{\ast }^m=(p^{-m}{)}^c=|n{|}_p^c$,

met $c=-\frac{\log |p{|}_{\ast }}{\log p}$ en $m=0,|n{|}_{\ast }=1$ als $n$ niet deelbaar is door $p$.

Maar dan is ook voor alle $x\in \mathbb{Q}$

$|x{|}_{\ast }=|x{|}_p^c$

dus is $|\cdot {|}_{\ast }$ equivalent met een $p$-adische absolute waarde.