Ongelijkheid (wiskunde)

Een ongelijkheid is in de wiskunde een relatie die iets zegt over de relatieve grootte van twee wiskundige objecten. Ongelijkheden berusten op de relatie "kleiner dan", genoteerd als "<", die aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat kleiner is dan wat rechts staat.

Definitie en notatie

Van twee reële getallen $a$ en $b$ zegt men dat $a$ kleiner is dan $b$, genoteerd als $a<b$, als er een positief getal $c$ is, waarvoor $a+c=b$.

• In plaats van $a<b$ schrijft men ook $b>a$, en zegt: $b$ is groter dan $a$.
• Voor $a<b$ of $a=b$ schrijft men kort: $a\le b$, en men zegt: $a$ is kleiner dan of gelijk aan $b$ of kort $a$ is kleiner of gelijk $b.$
• Voor $a>b$ of $a=b$ schrijft men kort: $a\ge b$, en men zegt: $a$ is groter dan of gelijk aan $b$ of kort $a$ is groter of gelijk $b.$

De relaties $<$ en $>$ worden strikte ongelijkheden genoemd, dit in tegenstelling tot $\le$ en $\ge$.

Hoewel zonder exacte betekenis schrijft men wel:

• $a\ll b$ met de betekenis: $a$ is veel kleiner dan $b$.
• $a\gg b$ met de betekenis: $a$ is veel groter dan $b$.

Gebruik

Voor alle reële getallen $a$ en $b$ is voldaan aan precies een van volgende drie mogelijkheden:

• $a<b$
• $a=b$
• $a>b$

Om ongelijkheden in een makkelijker berekenbare vorm om te zetten, bestaan voor de basisbewerkingen enkele rekenregels:

• Optelling en aftrekking van reële getallen $a,b$ en $c$:
  • Als $a<b$, geldt: $a+c<b+c$ en $a-c<b-c$.
• Vermenigvuldiging en deling van reële getallen $a,b$ en $c$ met $c\ne 0$:
  • Als $c>0$ is en $a<b$, geldt: $ac<bc$ en $a/c<b/c$.
  • Als $c<0$ is en $a<b$, geldt: $ac>bc$ en $a/c>b/c$.
• Eenvoudig te onthouden is dat de ongelijkheid omgedraaid wordt als:
  • Men beide leden vermenigvuldigt met of deelt door een negatief getal.
  • Men beide leden omkeert: bijvoorbeeld $a/b<c/d⟹b/a>d/c$

Ongelijkheden worden theoretisch vaak gebruikt om een boven- of ondergrens te bepalen voor grootheden, die niet eenvoudig berekenbaar zijn. Belangrijkste voorbeelden uit de maattheorie zijn de driehoeksongelijkheid, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, en ongelijkheid van Hölder, in de statistiek de ongelijkheden van Markov, Tsjebysjev en Cramér-Rao. In de praktijk komen ongelijkheden vrijwel altijd voor om voorwaarden op te leggen aan bepaalde onbekenden bij het oplossen van een stelsel van vergelijkingen.

Zie ook

• Partiële orde
• Gebruik van de tekens "<" en ">" als haakjes
• Guillemet - de tekens "«" en "»"