Driehoeksongelijkheid

De driehoeksongelijkheid zegt dat een lijnstuk de kortste afstand tussen twee punten bepaalt. Gaat men via een omweg over het punt $P$ van het punt $A$ naar het punt $B$ dan is de afstand langer dan wanneer men direct over het lijnstuk $l$ van $A$ naar $B$ gaat. Als $P$ op $l$ ligt maakt het geen verschil.

Meetkunde

Voor elk drietal punten $A,B$ en $P$ in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen, geldt, met $\mathrm{|}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{|}$ de afstand tussen $A$ en $B$:

$\mathrm{|}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{|}<\mathrm{|}\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{|}\mathrm{+}\mathrm{|}\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{|}$

Als $A,B$ en $P$ op één lijn liggen en $P$ tussen $A$ en $B$ ligt, geldt

$\mathrm{|}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{|}\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{|}\mathrm{+}\mathrm{|}\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{|}$

Vectorruimte

Eerste driehoeksongelijkheid

Voor een abstracte norm op een reële of complexe vectorruimte is de driehoeksongelijkheid een axioma:

$\Vert 𝐱+𝐲\Vert \le \Vert 𝐱\Vert +\Vert 𝐲\Vert$

voor alle vectoren $𝐱$ en $𝐲$.

Uit de ongelijkheid van Minkowski volgt dat de L^p-norm hieraan voldoet.

Dat deze vorm van de driehoeksongelijkheid overeenkomt met het axioma voor een afstand, blijkt uit het volgende:

De norm induceert een afstand $d(𝐱,𝐲)=|𝐱-𝐲|$ die voldoet aan de driehoeksongelijkheid voor een afstand:

$d(𝐱,𝐲)=|𝐱-𝐲|=|𝐱-𝐳+𝐳-𝐲|\le |𝐱-𝐳|+|𝐳-𝐲|=d(𝐱,𝐳)+d(𝐳,𝐲)$

Als op een reële of complexe vectorruimte een inwendig product $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ is gegeven, wordt door de definitie

$\Vert 𝐱\Vert =\sqrt{⟨𝐱,𝐱⟩}$

een norm bepaald. Het bewijs dat dit voorschrift aan het axioma van de driehoeksongelijkheid voldoet, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.

$⟨𝐱+𝐲,𝐱+𝐲⟩=⟨𝐱,𝐱⟩+2\text{Re}⟨𝐱,𝐲⟩+⟨𝐲,𝐲⟩\le ⟨𝐱,𝐱⟩+2\sqrt{⟨𝐱,𝐱⟩}\sqrt{⟨𝐲,𝐲⟩}+⟨𝐲,𝐲⟩={(\sqrt{⟨𝐱,𝐱⟩}+\sqrt{⟨𝐲,𝐲⟩})}^2$

Tweede, ook wel omgekeerde, driehoeksongelijkheid

Toepassen van de eerste driehoeksongelijkheid op $𝐮=(𝐮-𝐯)+𝐯$ geeft:

$\Vert (𝐮-𝐯)+𝐯\Vert \le \Vert 𝐮-𝐯\Vert +\Vert 𝐯\Vert$

dus

$\Vert 𝐮\Vert -\Vert 𝐯\Vert \le \Vert 𝐮-𝐯\Vert$

Toepassen op $𝐯=(𝐯-𝐮)+𝐮$ geeft bovendien:

$\Vert (𝐯-𝐮)+𝐮\Vert \le \Vert 𝐯-𝐮\Vert +\Vert 𝐮\Vert$

dus

$\Vert 𝐯\Vert -\Vert 𝐮\Vert \le \Vert 𝐯-𝐮\Vert$

maar dan ook:

$\Vert 𝐮\Vert -\Vert 𝐯\Vert \le \Vert 𝐯-𝐮\Vert$

dus

$|\Vert 𝐮\Vert -\Vert 𝐯\Vert |\le \Vert 𝐮-𝐯\Vert$

Abstract

De algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling $V$ geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een verder niet nader bepaalde symmetrische afstandsfunctie die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.