Ongelijkheid van Minkowski

De ongelijkheid van Minkowski - genoemd naar de Joods-Duitse wiskundige Hermann Minkowski - is een stelling in de functionaalanalyse die zegt dat in de L^p-ruimten de driehoeksongelijkheid geldt. Bijgevolg zijn deze ruimten genormeerde vectorruimten

Stelling

Laat $S$ een maatruimte zijn en $1\le p\le \mathrm{\infty }$. Voor de functies $f,g\in L^p(S)$ geldt dat $f+g\in L^p(S)$ en

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p.$

Als $1<p<\mathrm{\infty }$ is er precies dan gelijkheid als $f$ en $g$ positief linear afhankelijk zijn (d.w.z $f=\lambda g$ voor een zekere $\lambda \ge 0$).

Bewijs

De ongelijkheid is triviaal voor $p=1$ en $p=\mathrm{\infty }$. Zij nu $1<p<\mathrm{\infty }$. De afbeelding $x\mapsto |x{|}^p$ is een convexe functie, daarom is:

$|f+g{|}^p=2^p\cdot {|\frac{1}{2}f+\frac{1}{2}g|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p),$

en dus is $f+g\in L^p(S)$.

Zonder verlies van algemeenheid kan verondersteld worden dat $\Vert f+g{\Vert }_p>0$. Er geldt dan:

$\begin{array}{cc}|f+g{|}^p& =(|f+g|)(|f+g|{)}^{p-1}\\ & \le (|f|+|g|)(|f+g|{)}^{p-1}\\ & =|f|\cdot |f+g{|}^{p-1}+|g|\cdot |f+g{|}^{p-1}\\ \end{array}$

Laat $q=p/(p-1)$, dan is $q$ de geconjugeerde index van $p$, en is

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Volgens de ongelijkheid van Hölder is:

$\begin{array}{cc}\Vert f+g{\Vert }_p^p=\underset{S}{\int }|f+g{|}^p& \le \underset{S}{\int }(|f|\cdot |f+g{|}^{p-1})+\underset{S}{\int }(|g|\cdot |f+g{|}^{p-1})\\ & \le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert |f+g{|}^{p-1}{\Vert }_q+\Vert g{\Vert }_p\cdot \Vert |f+g{|}^{p-1}{\Vert }_q\\ & =(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\cdot \Vert |f+g{|}^{p-1}{\Vert }_q\\ & =(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\cdot {(\underset{S}{\int }|f+g{|}^{(p-1)\cdot \frac{p}{p-1}})}^{1-\frac{1}{p}}\\ & =(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\cdot \frac{\underset{S}{\int }|f+g{|}^p}{{(\underset{S}{\int }|f+g{|}^p)}^{\frac{1}{p}}}\\ & =(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\cdot \frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}\\ \end{array}$

Na vermenigvuldiging van beide zijden met $\Vert f+g{\Vert }_p/\Vert f+g{\Vert }_p^p$ volgt hieruit de ongelijkheid van Minkowski.

Speciaal geval

Voor het speciale geval van eindige rijen $(x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n)$ van reële of complexe getallen, met als maat de telmaat, ziet de ongelijkheid er als volgt uit:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

Dit is de driehoeksongelijkheid voor de p-norm.

Ook voor oneindige rijen ${(x_n)}_n,{(y_n)}_n$ kan de ongelijkheid geformuleerd worden:

${(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|y_k{|}^p)}^{1/p}$

Literatuur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001, Sjabloon:ISBN