Dicyclische groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een dicyclische groep een element van een klasse van groepen ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n$ met $n>1$, een niet-abelse groep met orde $4n$, die een uitbreiding is van de cyclische groep van orde 2 met een cyclische groep van even orde $2n$, wat de groep de naam di-cyclisch geeft. In de notatie van exacte rijen van groepen kan deze uitbreiding worden uitgedrukt als

$1\to C_{2n}\to {\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n\to C_2\to 1$

Meer in het algemeen kan men, gegeven een abelse groep met een element van orde 2, een dicyclische groep definiëren.

Definitie

De dicyclische groep ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n$ met $n>1$ wordt voortgebracht door twee elementen $a$ en $b$ die aan de volgende presentatie voldoen:

${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n=⟨a,b\mid a^{2n}=1,b^2=a^n,b^{-1}ab=a^{-1}⟩$

Eigenschappen en voorbeelden

• Ieder element van ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n$ kan eenduidig worden geschreven als $a^k{b}^j$ met $0\le k<2n$ en $j=0$ of $j=1$.
• De orde van ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n$ is $4n$.
• De dicyclische groep ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n$ heeft een cyclische ondergroep van de orde $2n$ voortgebracht door het element $a$ en een cyclische ondergroep van de orde $4$ voortgebracht door het element $b$. De ondergroep voortgebracht door $a$ heeft in ieder geval een ondergroep van de orde $n$ voortgebracht door $a^2$ en afhankelijk van de waarde van $n$ mogelijk nog andere ondergroepen. De ondergroep voortgebracht door $b$ heeft een ondergroep van de orde 2 voortgebracht door $b^2$.
• ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_1\cong {𝐕}_4$, de viergroep van Klein
• ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_2\cong 𝐐$, de quaternionengroep
• Er kunnen aan de hand van de relaties vastgelegd in de presentatie verschillende vermeningvuldigingsregels tussen $a$ en $a$ worden bepaald, bijvoorbeeld

$b^2{a}^k=a^{k+n}=a^k{b}^2$ en

$a^{k}b{a}^{m}b=a^{k-m+n}$

Uitgewerkt voorbeeld

De groep ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_3$ bestaat uit de 12 elementen:

$1,a,a^2,a^3,a^4,a^5,b,ab,a^{2}b,a^{3}b,a^{4}b,a^{5}b$

${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_3$ is isomorf met een ondergroep van de quaternionen, of kan worden voorgesteld door de keuze $a=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ en $b=j$. Er geldt immers:

$a^3={(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})}^3=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{8}+i\frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{9}{8}-i\frac{3\sqrt{3}}{8}=-1$

dus

$a^6=1$

$b^2=-1=a^3$

$b^{-1}ab=-j\frac{1}{2}j-ji\frac{\sqrt{3}}{2}j=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}={\alpha }^{-1}$