Quaternionengroep

In de groepentheorie is de quaternionengroep een eindige groep, die niet commutatief is en waarvan de orde 8 is. De quaternionengroep wordt vaak met $Q$ aangeduid en heeft de volgende acht elementen:

$Q=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$

De quaternionengroep wordt met deze acht elementen als multiplicatieve groep geschreven, waarin 1 het neutrale element is, $(-1{)}^2=1$ en $(-1)a=a(-1)=-a$ voor alle $a$ in $Q$. De andere vermenigvuldigingsregels zijn uit de volgende relaties af te leiden:

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

De cayley-tabel of groepentabel voor $Q$ is de volgende:

	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Merk op dat de quaternionengroep niet commutatief is. Bijvoorbeeld $ij=-ji$. $Q$ is een Hamiltoniaanse groep is: iedere ondergroep van $Q$ is er een normaaldeler van, maar de groep is niet commutatief. Iedere Hamiltoniaanse groep bevat een kopie van $Q$.

Cyclegraaf van $Q$
Sjabloon:Legenda-lijn

Quaternionen

• De quaternionengroep wordt hier dus als een multiplicatieve groep beschreven. Het is net zoals het mogelijk is de complexe getallen $ℂ$ te definiëren door aan het lichaam van de reële getallen $ℝ$ de imaginaire eenheid $i$ toe te voegen, mogelijk een nieuw lichaam te definiëren door aan $ℝ$ de drie elementen $i,j$ en $k$ van de quaternionenengroep toe te voegen. Dit lichaam wordt met $ℍ$ aangegeven. De dimensie van $ℍ$ over $ℝ$ is vier en de getallen in $ℍ$ worden quaternionen genoemd.