Aftelbaarheidsaxioma

Aan een topologische ruimte worden soms aanvullende voorwaarden opgelegd om sterkere eigenschappen te kunnen bewijzen. De aftelbaarheidsaxioma's zijn dergelijke voorwaarden, die alle te maken hebben met het bestaan van bases die in zekere zin uit "weinig" open verzamelingen bestaan.

Eerste aftelbaarheidsaxioma: A1

Een topologische ruimte $(X,𝒯)$ heet eerst-aftelbaar of $A_1$ als ieder punt een aftelbare lokale basis heeft. Dat houdt in dat er voor elke $x\in X$ aftelbaar veel open verzamelingen $V_n\in 𝒯$ zijn, waarvoor geldt:

• voor alle $n\in \mathbb{N}$ is $x\in Vn$
• elke open omgeving $U$ van $x$ bevat een van de $V_n$ als deelverzameling.

Tweede aftelbaarheidsaxioma: A2

Een topologische ruimte $(X,𝒯)$ heet tweedst-aftelbaar (soms: tweede-aftelbaar) of $A_2$ als ze een aftelbare basis heeft:

$\mathrm{\exists }\{V_n\in 𝒯\mid n\in \mathbb{N}\},\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }U\in 𝒯:x\in U⟹\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:x\in V_n\subset U$

Dit is duidelijk sterker dan $A_1$: elke tweedst-aftelbare ruimte is eerst-aftelbaar.

Voorbeelden

Elke (topologie afkomstig van een) metrische ruimte $X$ is $A_1$. Neem bijvoorbeeld als lokale basis in $x\in X$ de open bollen met middelpunt $x$ en straal $1/n$, voor $n\in \mathbb{N},n\ne 0$

$B(x,\frac{1}{n})=\{y\in X\mid d(x,y)<\frac{1}{n}\}$

Niet iedere metrische ruimte is $A_2$, maar een compacte metrische ruimte is in elk geval wel $A_2$: wegens compactheid kan de ruimte voor elke $n\in \mathbb{N}$ overdekt worden met een eindig aantal open bollen met straal $1/n$; de vereniging van deze open bollen voor alle $n$ vormt een aftelbare basis.

De reële getallen, en algemener ${ℝ}^n$, zijn eveneens $A_2$. Neem bijvoorbeeld als aftelbare basis de open intervallen (in ${ℝ}^n$: cartesische producten van open intervallen) waarvan de eindpunten rationale getallen zijn.

Metriseerbaarheid

Het eerste voorbeeld hierboven is niet toevallig gekozen. Onder de topologische ruimten worden degenen die van metrische ruimten afkomstig zijn, gekenmerkt door bijzondere scheidingsaxiomas en aftelbaarheidsaxiomas.

Metriseerbaarheidsstelling van Urysohn

De metriseerbaarheidsstelling van Urysohn garandeert dat bij een topologische ruimte die tweedst-aftebaar ($A_2$) en normaal is, de topologie afkomstig is van een metriek.

Sigma-lokaal-eindige-basis

Het bestaan een sigma-lokaal-eindige basis is een scheidingsaxioma ($A_{\sigma }$) dat tussen $A_1$ en $A_2$ in ligt.

• Een topologische ruimte die aan $A_2$ voldoet, is ook $A_{\sigma }$.
• Een topologische ruimte die aan $A_{\sigma }$ voldoet, is ook $A_1$.

Kort gezegd:

$A_2⟹A_{\sigma }⟹A_1$

De hoofdstelling over de metriseerbaarheid van topologische ruimten is genoemd naar Smirnov, Nagata en Bing. Ze karakteriseert volledig de metriseerbare topologische ruimten:

Een topologische ruimte is metriseerbaar dan en slechts dan als ze normaal is en beschikt over een sigma-lokaal-eindige basis.

Metriseerbaarheid in de functionaalanalyse

Voor een topologische vectorruimte is $A_1$ reeds voldoende om metriseerbaarheid te garanderen.

Limieten van rijen

De topologie van een $A_1$-ruimte wordt volledig gekenmerkt door de convergentie van oneindige rijen: de afsluiting van een gegeven deelverzameling bestaat namelijk uit alle limieten van rijen in die deelverzameling.

Voor willekeurige topologische ruimten is dit niet gegarandeerd; er bestaat evenwel een veralgemeend rijbegrip (Moore-Smithrijen, zie netten) dat de afsluiting kenmerkt als de verzameling limieten.