Normale ruimte

De gescheiden ruimtes E en F maken deel uit van de eveneens gescheiden ruimtes U en V

In de topologie en verwante deelgebieden van de wiskunde zijn normale ruimten (ook wel T₄-ruimten, T₅-ruimten en T₆-ruimten genoemd) bijzonder aangename types topologische ruimten. Deze voorwaarden zijn voorbeelden van scheidingsaxiomas.

Definitie

Een topologische ruimte $X$ is normaal als $X$ aan de volgende twee voorwaarden voldoet:

• $X$ heeft de $T_1$-eigenschap,
• Gegeven twee disjuncte gesloten deelverzamelingen $E$ en $F$ van $X$, bestaan er disjuncte open deelverzamelingen $U$ en $V$ van $X$ die respectievelijk $E$ en $F$ bevatten.

De definitie is equivalent met de volgende uitspraak:

Gegeven een gesloten deelverzameling $E$ van $X$ en een open deelverzameling $U$ van $X$ die $E$ bevat, bestaat er een open deelverzameling $V$ van $X$ die $E$ bevat en waarvoor geldt $\bar{V}\subseteq U$.

Voorbeelden

De volgende topologische ruimten zijn voorbeelden van normale ruimtes.

• Metrische ruimten zijn normaal.
• Compacte Hausdorff ruimten zijn normaal.
• De Sorgenfrey-rechte (en) ${ℝ}_{\ell }$ is normaal, maar het Sorgenfrey-vlak (en) ${ℝ}_{\ell }^2$ is niet normaal. Dit is een voorbeeld van een topologisch product van twee normale ruimten dat zelf niet normaal is. Het Sorgenfrey-vlak is eveneens een voorbeeld van een reguliere ruimte die niet normaal is.
• Een gesloten deelruimte van een normale topologische ruimte is normaal.

Sjabloon:Beginnetje