Positief-definiete matrix

In de lineaire algebra wordt een vierkante n×n-matrix $𝐀$ positief-definiet genoemd, als alle elementen van $𝐀$ reëel zijn en de kwadratische vorm ${𝐱}^{\text{T}}𝐀𝐱$, waarin $𝐱$ een willekeurige kolomvector in de $n$-dimensionale euclidische ruimte is, positief-definiet is, dus als ${𝐱}^{\text{T}}𝐀𝐱>0$ als $𝐱$ niet gelijk is aan de nulvector.

${𝐀}^{\text{T}}$ is de getransponeerde matrix van $𝐀$. Meestal wordt verondersteld dat $𝐀$ een symmetrische matrix is, maar een positief-definiete matrix hoeft niet symmetrisch te zijn:

De $2\times 2$ matrix van een vlakke rotatie over een hoek $0\le \theta <90^{\circ }$ is niet symmetrisch, maar wel positief definiet.

Wanneer in de definitie '$>0$' wordt vervangen door '$<0$', spreekt men van een negatief-definiete matrix.

Eigenschappen

• Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
• De som van twee positief-definiete $n\times n$-matrices is positief-definiet.

• Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 10\end{array}\right]$

$𝐁=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ -3& 10\end{array}\right]$

zijn beide positief-definiet. Hun product

$𝐀𝐁=\left[\begin{array}{cc}-8& 27\\ -27& 91\end{array}\right]$

is daarentegen niet positief-definiet.

• Een vierkante matrix $𝐀$ kan altijd worden geschreven als de som $𝐀=𝐁+𝐂$ van een symmetrische matrix $𝐁=(𝐀+{𝐀}^{\text{T}})/2$ en een antisymmetrische matrix $𝐂=(𝐀-{𝐀}^{\text{T}})/2$. De matrix $𝐀$ is dan en slechts dan positief-definiet als het symmetrische deel van $𝐀$ positief-definiet is.
• Met $\theta =\mathrm{\angle }(𝐱,𝐀𝐱)$ is

$\cos (\theta )=\frac{{𝐱}^{\text{T}}𝐀𝐱}{\Vert 𝐱\Vert \Vert 𝐀𝐱\Vert }=\frac{⟨𝐱,𝐀𝐱⟩}{\Vert 𝐱\Vert \Vert 𝐀𝐱\Vert }$,

• Een symmetrische matrix $𝐀$ is positief-definiet dan en slechts dan als alle eigenwaarden van $𝐀$ strikt positief zijn. De determinant van een symmetrische positief-definiete matrix is ook strikt positief, omdat de determinant gelijk is aan het product van de eigenwaarden.
• Een symmetrische matrix die positief-definiet is, heeft dus ook een inverse matrix. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is positief-definiet.
• Matrix $𝐀$ is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van $𝐀$ strikt positief is.

Als $𝐀$ een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit $𝐀$ wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit $𝐀$ weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van $𝐀$ strikt positief.

• Een positief-definiete matrix $𝐀$ heeft een unieke decompositie $𝐀=𝐋𝐑$ in een benedendriehoeksmatrix $𝐋$, met 1-en op de hoofddiagonaal, en een bovendriehoeksmatrix $𝐑$, met niet-nul-elementen op de diagonaal.

De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm $𝐀={𝐋𝐋}^{\text{T}}$, waarin $L$ een benedendriehoeksmatrix is.

• Een matrix $𝐀$ is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix $𝐐$ bestaat zodanig dat $𝐀={𝐐}^{\text{T}}𝐐$
• Als $𝐀$ positief-definiet is, dan is voor ieder positieve gehele getal $p$ ook ${𝐀}^p$ positief-definiet.
• Als $𝐀$ positief-definiet is, bestaat de matrix ${𝐀}^{1/p}$ voor ieder positieve gehele getal $p$, dat wil zeggen dat er een matrix $𝐁$ bestaat, zodat ${𝐁}^p=𝐀$.

Voorbeelden

• De identiteitsmatrix en elke diagonaalmatrix met strikt positieve elementen zijn positief-definiet.
• Hilbert-matrices.

Semi-definiete matrix

Men heeft een positief semi-definitieve matrix $𝐀$ wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door ${𝐱}^{\text{T}}𝐀𝐱\ge 0$. Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien ${𝐱}^{\text{T}}𝐀𝐱\le 0$ voor alle $𝐱$ ongelijk aan de nulvector.

Belang

• Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van lineaire vergelijkingen positief-definiet is, heeft het stelsel een oplossing.

• De positief-definietheid van de hessiaan van een scalaire functie van $n$ variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

• Positief-definiete matrices treden op in methoden van lineaire regressie, bijvoorbeeld de kleinste-kwadratenmethode.

• In de statistiek is de covariantiematrix van een aantal toevalsvariabelen positief-definiet of indien een van de variabelen een lineaire combinatie is van de andere positief-semidefiniet.

Literatuur

• Sjabloon:Aut. Positive Definite Matrices, 1970. American Mathematical Monthly 77, 3, blz 259-264