Diagonaalmatrix

In de lineaire algebra is een diagonaalmatrix een vierkante matrix, waarvan alle elementen behalve de hoofddiagonaal (↘) gelijk aan nul zijn. De diagonale elementen kunnen al of niet gelijk zijn aan nul. De $n\times n$-matrix $𝐃=(d_{i,j})$ is een diagonaalmatrix als voor alle $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$:

$d_{i,j}=0\text{ voor }i\ne j$

Diagonaalmatrices worden volledig bepaald door de waarden van de elementen op de hoofddiagonaal. Een gebruikelijke schrijfwijze is

$𝐃=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,d_2,\dots ,d_n)=\left[\begin{array}{cccc}{d}_1& 0& \dots & 0\\ 0& d_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \dots & 0& d_n\end{array}\right]$.

De som van de elementen op de hoofddiagonaal van de diagonaalmatrix $𝐃$ wordt het spoor van $𝐃$ genoemd, symbool: $\mathrm{sp}(𝐃)$, en is bijgevolg gedefinieerd als:

$\mathrm{sp}(𝐃)=\sum _{i=1}^n{d}_i=d_1+d_2+\dots +d_n$

Voorbeelden

De volgende matrix $𝐌$ is een diagonaalmatrix:

$𝐌=\left[\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 1/3& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1/2\end{array}\right]$.

Men noteert de diagonaalmatrix ook wel als: $𝐌=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(3,1/3,-1,1/2).$

Merk op dat de inverse en de macht van een diagonaalmatrix te bepalen zijn door de diagonaalelementen tot de macht $-1$ en $n$ nemen.

De inverse van de matrix hierboven is dan:

${𝐌}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}1/3& 0& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$,

en de $n$-de macht:

${𝐌}^n=\left[\begin{array}{cccc}{3}^n& 0& 0& 0\\ 0& 1/3^n& 0& 0\\ 0& 0& (-1{)}^n& 0\\ 0& 0& 0& 1/2^n\end{array}\right]$.

De determinant van een dergelijke matrix is te bepalen door alle elementen van de diagonaal met elkaar te vermenigvuldigen. De determinant van $𝐌$ is:

$\text{det}(𝐌)=\left|\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 1/3& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1/2\end{array}\right|=3\times \frac{1}{3}\times (-1)\times \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$

De eenheidsmatrix is een diagonaalmatrix.