Macht van een matrix

Vierkante matrices kunnen met zichzelf worden vemenigvuldigd. Men spreekt net als bij getallen van machtsverheffen: er ontstaat een macht van een matrix. Zo is:

${𝐀}^2=𝐀\cdot 𝐀$ het kwadraat van $𝐀$

en

${𝐀}^n=𝐀\cdot 𝐀\cdot \dots \cdot 𝐀$, met $n$ factoren $𝐀$, de $n$-de macht van $𝐀$.

Gesloten vorm

Als de matrix $𝐀$ diagonaliseerbaar is, kan er een gesloten vorm voor de $n$-de macht van $𝐀$ worden gevonden. Dan geldt:

$𝐀=𝐓\mathrm{\Lambda }{𝐓}^{-1}$,

waarin $\mathrm{\Lambda }$ een diagonaalmatrix is. De macht van een diagonaalmatrix is snel te bepalen, omdat:

${𝐀}^n=𝐓\mathrm{\Lambda }{𝐓}^{-1}𝐓\mathrm{\Lambda }{𝐓}^{-1}\dots 𝐓\mathrm{\Lambda }{𝐓}^{-1}=𝐓{\mathrm{\Lambda }}^n{𝐓}^{-1}$.

Voorbeelden

Berekening

Bepaal de $n$-de macht van de matrix

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -2& 3& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right]$

Alle elementen boven de diagonaal zijn gelijk aan 0 en de diagonaalelementen zijn alle verschillend, zodat de diagonaalelementen ook de eigenwaarden zijn. Voor een diagonaalvorm van $𝐀$ kan men dus nemen:

$\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

De transformatie $𝐓$ wordt bepaald door de eigenvectoren van $𝐀$. Dit zijn: (0,0,1), (1,2,4) en (0,1,1), zodat:

$𝐓=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 1& 4& 1\end{array}\right]$

Nu volgt:

${𝐀}^n=𝐓{\mathrm{\Lambda }}^n{𝐓}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 1& 4& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{1}^n& 0& 0\\ 0& 2^n& 0\\ 0& 0& 3^n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& 1\\ 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{2}^n& 0& 0\\ -2(3^n-2^n)& 3^n& 0\\ -2(3^n-2^{n+1}+1)& 3^n-1& 1\end{array}\right]$

Rij van Fibonacci

Voor het bepalen van het getal $f(n)$ in de rij van Fibonacci is de $(n-1)$-ste macht van de volgende matrix nodig:

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

De eigenwaarden van de diagonaalvorm $\mathrm{\Lambda }$ zijn de oplossingen $\lambda$ van de karakteristieke vergelijking:

$\det (𝐀-\lambda 𝐈)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right|=-\lambda (1-\lambda )-1={\lambda }^2-\lambda -1=0$,

met oplossingen:

${\lambda }_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2},{\lambda }_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

De eigenvectoren bepalen de matrix:

$𝐓=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\lambda }_2\\ 1& 1\end{array}\right]$

Dus:

${𝐀}^{n-1}=𝐓{\mathrm{\Lambda }}^{n-1}{𝐓}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\lambda }_2\\ 1& 1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]}^{n-1}\left[\begin{array}{cc}\frac{-1}{\sqrt{5}}& \frac{{\lambda }_2}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{-{\lambda }_1}{\sqrt{5}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1^n& {\lambda }_2^n\\ {\lambda }_1^{n-1}& {\lambda }_2^{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{-1}{\sqrt{5}}& \frac{{\lambda }_2}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{-{\lambda }_1}{\sqrt{5}}\end{array}\right]$

Hiervan is het element linksboven nodig. Dit levert:

$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}({\lambda }_2^n-{\lambda }_1^n)=\frac{1}{\sqrt{5}}({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n)$