Covariantiematrix

Een covariantiematrix is in de kansrekening en statistiek een matrix met als elementen de paarsgewijze covarianties van een $m$-tal toevalsvariabelen of hun schattingen.

Populatie

Betreft het de populatie, en worden de $m$ toevalsvariabelen $X_1,X_2,\dots ,X_m$ voorgesteld door de vector $X$, dan is de covariantiematrix:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X)=(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_r,X_k))=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}X)(X-\mathrm{E}X{)}^T)$,

dus een $m\times m$-matrix $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X)$ met als $rk$-e element:

$(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X){)}_{rk}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_r,X_k)$

Steekproef

Gaat het om een steekproef van omvang $n$ uit de populatie van de $m$ toevalsvariabelen $X_1,X_2,\dots ,X_m$, dan wordt als schatter van de bovengenoemde covariantiematrix $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X)$ vaak de (steekproef)covariantiematrix $C$ berekend, bepaald door de schattingen van de elementen van $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X)$, dus:

$C_{rk}=\frac{1}{n-1}\sum _i(x_{ri}-x_{r\cdot })(x_{ki}-x_{k\cdot }),$

waarin een stip als index aangeeft dat over de betrokken index gemiddeld is.

Eigenschappen

• Een (reële) covariantiematrix is symmetrisch en positief semi-definiet.
• Op de hoofddiagonaal van de covariantiematrix staan de varianties van de afzonderlijke toevalsvariabelen.
• Voor een $m\times m$-matrix $A$ geldt: $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(AX)=A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X)A^T$.
• Voor verschuiving over een vector $b$ geldt: $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X+b)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X)$.
• Als $X$ en $Y$ ongecorreleerde vectoren van toevalsvariabelen zijn, geldt: $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X+Y)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(Y)$.

Zie ook

• Simultane verdeling
• Multivariate normale verdeling