Positief-definiet

Een bilineaire of sesquilineaire vorm heet positief-definiet als hij identieke geordende paren die niet nul zijn, afbeeldt op strikt positieve getallen.

Formele definitie

Zij $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ een bilineaire vorm op een reële vectorruimte $V$ :

⟨ \cdot, \cdot ⟩ : V \times V \to ℝ : (x, y) \mapsto ⟨ x, y ⟩

Deze vorm is positief definiet (en daarmee een inwendig product) als aan de volgende twee voorwaarden voldaan is:

$\forall x \in V : ⟨ x, x ⟩ \geq 0$ ;
de functie is niet-ontaard, dat wil zeggen $\forall x \in V : ⟨ x, x ⟩ = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Deze definitie blijft ongewijzigd gelden voor een sesquilineaire vorm op een complexe vectorruimte.

Een voorbeeld van een positief definiete bilineaire vorm is het klassiek inproduct op $ℝ^{n}$ :

⟨ \cdot, \cdot ⟩ : ℝ^{n} \times ℝ^{n} \to ℝ : (𝐱, 𝐲) \mapsto ⟨ 𝐱, 𝐲 ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

Het product van een complex getal met de toegevoegde van een ander complex getal vormt een positief definiete sesquilineaire vorm op $ℂ$ zelf, want $x . \overline{x} = | x |^{2}$
De volgende bilineaire vorm is niet positief en dus zeker niet positief definiet:

⟨ \cdot, \cdot ⟩ : ℝ^{n} \times ℝ^{n} \to ℝ : (𝐱, 𝐲) \mapsto ⟨ 𝐱, 𝐲 ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} x_{i} y_{i}

De definitie kan worden gehandhaafd voor willekeurige bilineaire vormen op modulen over geordende ringen.