Voetpuntsdriehoek

De voetpuntsdriehoek in een driehoek $△ A B C$ ten opzichte van een bepaald punt is de driehoek met als hoekpunten de loodrechte projecties van dat punt op de drie zijden van $△ A B C$ .

Eigenschappen

De omgeschreven cirkel van de voetpuntsdriehoek van $P$ heet de voetpuntscirkel van $P$ . Isogonaal verwante punten hebben dezelfde voetpuntscirkel.

Een ingeschreven driehoek $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ in $△ A B C$ , met $A^{'}$ op $B C$ , $B^{'}$ op $A C$ en $C^{'}$ op $A B$ , is een voetpuntsdriehoek van een punt $P$ dan en slechts dan als

B^{'} A^{2} + C^{'} B^{2} + A^{'} C^{2} = A^{'} B^{2} + B^{'} C^{2} + C^{'} A^{2}

Oppervlakte

De oppervlakte $Δ$ van de voetpuntsdriehoek $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ van een punt $P$ is gegeven door de formule

Δ (A^{'} B^{'} C^{'}) = \frac{Δ (A B C)}{4 r^{2}} (O P^{2} - r^{2})

Hierin zijn $r$ de straal en $O$ het middelpunt van de voetpuntscirkel. De oppervlakte van $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ is dus evenredig met de macht van $P$ ten opzichte van de voetpuntscirkel.

Vorm

De lengtes van de zijden van een driehoek $△ A B C$ en daarvan de voetpuntsdriehoek $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ van een punt $P$ verhouden zich als:

B^{'} C^{'} : A^{'} C^{'} : A^{'} B^{'} = A P \cdot B C : B P \cdot A C : C P \cdot A B

In het bijzonder volgt hieruit dat de voetpuntsdriehoeken van $P$ ten opzichte van $△ A B C$ , van $A$ ten opzichte van $△ P B C$ , van $B$ ten opzichte van $△ A P C$ en van $C$ ten opzichte van $△ A B P$ gelijkvormig zijn.

Laat $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ de voetpuntsdriehoek van $P$ zijn ten opzichte van $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , dan is $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ de tweede voetpuntsdriehoek. Laat nu $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ de voetpuntsdriehoek zijn van $P$ ten opzichte van $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ , de derde voetpuntsdriehoek. Er geldt dat de derde voetpuntsdriehoek gelijkvormig is met $△ A B C$ .

De voetpuntsdriehoek van $P$ is gelijkvormig met de om-ceva-driehoek van $P$ .

Barycentrische coördinaten

Wanneer $P$ als barycentrische coördinaten $(x : y : z)$ heeft, dan hebben, gebruikmakend van conway-driehoeknotatie, de hoekpunten van de voetpuntsdriehoek als coördinaten:

$(0 : a^{2} y + S_{C} x : a^{2} z + S_{B} x)$
$(b^{2} x + S_{C} y : 0 : b^{2} z + S_{A} y)$
$(c^{2} x + S_{B} z : c^{2} y + S_{A} z : 0)$