Toeplitz-matrix

Een Toeplitz-matrix, genoemd naar Otto Toeplitz, is een matrix met constante waarden op de hoofddiagonaal en de hiermee evenwijdige diagonalen. Dit betekent dat het element $t_{i,j}$ in rij $i$ en kolom $j$ gelijk is aan het element er rechtsonder, en in het algemeen aan element $t_{i+k,j+k}$ voor alle positieve waarden van $k.$

Voorbeeld van een Toeplitz-matrix:

$\left[\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& e\\ f& a& b& c& d\\ g& f& a& b& c\\ h& g& f& a& b\\ i& h& g& f& a\end{array}\right]$

Een Toeplitz-matrix is volledig bepaald door de eerste rij en de eerste kolom.

Verband met veeltermen

De coëfficiënten van een veeltermvermenigvuldiging van

$a=a_1+a_{2}x+\dots +a_m{x}^{m-1}$

en

$b=b_1+b_{2}x+\dots +b_n{x}^{n-1}$

zijn de elementen van de vector die het product is van de matrixvermenigvuldiging van een Toeplitz-matrix met de vector gevormd door de coëfficiënten van veelterm $b:$

$c=ab=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccccc}{a}_1& 0& \dots & 0& 0\\ a_2& a_1& \dots & ⋮& ⋮\\ a_3& a_2& \dots & 0& 0\\ ⋮& a_3& \dots & a_1& 0\\ a_{m-1}& ⋮& \dots & a_2& a_1\\ a_m& a_{m-1}& ⋮& ⋮& a_2\\ 0& a_m& \dots & a_{m-2}& ⋮\\ 0& 0& \dots & a_{m-1}& a_{m-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& a_m& a_{m-1}\\ 0& 0& 0& \dots & a_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_{n-1}\\ b_n\end{array}\right]\end{array}$

Dit is equivalent aan het berekenen van de convolutie van twee rijen getallen. De Toeplitz-matrix is hier een bandmatrix: enkel de elementen op de hoofddiagonaal en een aantal diagonalen daarboven of daaronder zijn niet-nul. Rechtsboven en linksonder die diagonalen bestaat de matrix enkel uit nullen.

Voor deze en andere bewerkingen met Toeplitz-matrices bestaan efficiënte algoritmes. Dit is bijvoorbeeld zo voor het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen (in matrixvorm)

$Ax=b$

wanneer $A$ een Toeplitz-matrix is. Dergelijke stelsels duiken o.a. op in de digitale signaalverwerking (spraakherkenning en dergelijke).

Cyclische matrix

Een speciaal geval van een Toeplitz-matrix is een cyclische matrix. Dit is een matrix waarvan elke rij gelijk is aan de rij erboven maar dan één element naar rechts geroteerd:

$\left[\begin{array}{ccccc}{c}_0& c_{n-1}& \dots & c_2& c_1\\ c_1& c_0& c_{n-1}& & c_2\\ ⋮& c_1& c_0& \ddots & ⋮\\ c_{n-2}& & \ddots & \ddots & c_{n-1}\\ c_{n-1}& c_{n-2}& \dots & c_1& c_0\end{array}\right]$

Zo'n cyclische matrix is volledig bepaald door de eerste kolom (of rij); elke volgende kolom is een cyclische permutatie van de vorige kolom (of rij). Cyclische matrices komen bijvoorbeeld van pas bij de toepassing van discrete fouriertransformatie (DFT) op een rij getallen: de eigenwaarden van de cyclische matrix met die rij getallen als eerste rij vormen de DFT van die rij. Anders gezegd: de eerste rij van een cyclische matrix is de inverse DFT van de eigenwaarden van die matrix.

Zie ook

• Hankel-matrix, waarin elk element gelijk is aan het element er rechtsboven in plaats van rechtsonder.