Hankel-matrix

Een hankel-matrix is een symmetrische matrix waarvan de elementen op alle antidiagonalen, dat zijn de diagonalen loodrecht op de hoofddiagonaal, dus de diagonalen die van linksonder naar rechtsboven gaan, hetzelfde zijn. De hankel-matrix is naar Hermann Hankel genoemd.

Voorbeeld van een hankel-matrix:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 5& 8\\ 5& 8& 3\end{array}\right]$

Een hankel-matrix wordt bijvoorbeeld volledig beschreven door de elementen in de eerste en de laatste rij. Dat is in de gegeven matrix door de getalrijen (1,2,5) en (5,8,3), waarbij het eerste element van de tweede rij eigenlijk overbodig is. Voor het element in rij $i$ en kolom $j$ van een hankel-matrix geldt:

$a(i,j)=a(i-1,j+1)$

of anders gezegd: elk element is gelijk aan het element dat er rechtsboven staat.

Een hankel-matrix lijkt veel op een toeplitz-matrix, daarin zijn de elementen op de diagonalen evenwijdig aan de hoofddiagonaal constant. Een hankel-matrix is dus een ondersteboven gekeerde toeplitz-matrix. Een hilbert-matrix is een voorbeeld van een hankel-matrix. De waarden in de eerste rij en de laatste kolom van een hilbert-matrix zijn de breuken 1, 1/2, 1/3, 1/4, enzovoort.

Bij uitbreiding wordt het begrip hankel-matrix ook toegepast op niet-vierkante matrices, bijvoorbeeld:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 4& 5& 6& 7\\ 4& 5& 6& 7& 8\end{array}\right]$

Hankel-transformatie

Met een oneindige rij gehele getallen $A=(a_1,a_2,a_3,\dots )$ associeert men de oneindige hankel-matrix met $a_{i+j-1}$ op rij $i$ en kolom $j$. De hankel-matrix $H_n$ van orde $n$ is de vierkante submatrix met $n$ rijen in de linkerbovenhoek van die matrix:

$H_n=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\\ a_2& a_3& \dots & a_{n+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_{n+1}& \dots & a_{2n-1}\end{array}\right]$

De determinant van $H_n$ noemt men de hankel-determinant $h_n$ van orde $n$. De rij $(h_1,h_2,h_3,\dots )$ noemt men de hankel-transformatie van $A$. Als men dit bijvoorbeeld toepast op de reeks catalan-getallen, {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ...} ontstaat de hankel-transformatie {1, 1, 1, 1, ...}. Dit is niet de enige tij met die eigenschap. Men kan bewijzen dat voor iedere rij de hankel-transformatie ervan gelijk is aan de hankel-transformatie van de binomiaaltransformatie van die rij. De binomiaaltransformatie van de catalan-getallen bijvoorbeeld is {1, 2, 5, 15, 51, 188, 731, ...}.