Stelling van Lindemann-Weierstrass

De stelling van Lindemann-Weierstrass gaat over een bepaald resultaat in de getaltheorie. De stelling zegt, dat algebraïsche lineaire combinaties van algebraïsche machten van e niet nul kunnen zijn. Uit deze stelling kan afgeleid worden dat e en π transcendent getallen zijn. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Ferdinand von Lindemann en Karl Weierstrass.

Stelling

Laat ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ verschillende algebraïsche getallen zijn en ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ willekeurige algebraïsche getallen, die niet alle gelijk zijn aan 0, dan geldt

${\beta }_1{e}^{{\alpha }_1}+\dots +{\beta }_n{e}^{{\alpha }_n}\ne 0$.

Met behulp van deze zeer algemene stelling bewees von Lindemann de duidelijk zwakkere resultaten dat e en π transcendent zijn.

Gevolgen

De volgende resultaten zijn een direct gevolg van de stelling:

• Zou $e$ een algebraïsch getal zijn, dan zouden er gehele getallen ${\beta }_0,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ moeten zijn, niet alle gelijk aan nul, zodat

${\beta }_0{e}^0+{\beta }_1{e}^1+\dots +{\beta }_n{e}^n=0,$

wat duidelijk in tegenspraak is met de bovengenoemde stelling.

• Om de transcendentie van $\pi$ af te leiden, veronderstelt men dat $\pi$ een algebraïsch getal zou zijn. Omdat de algebraïsche getallen een lichaam vormen, moet dan ook $\pi i$ algebraïsch zijn, waarin $i$ de imaginaire eenheid is. Voor $n=1,{\beta }_0={\beta }_1=1,{\alpha }_0=\pi i$ en ${\alpha }_1=0$ krijgt men een tegenspraak met de bovengenoemde stelling, want volgens de formule van Euler geldt:

$e^{\pi i}+1=e^{\pi i}+e^0=0$.

• Duidelijk is dat de natuurlijke logaritme van een algebraïsch getal een transcendent getal is. Immers, stel dat $\alpha$ een algebraïsch getal is, dan geldt

$e^{\ln (\alpha )}-\alpha e^0=0$

en hierin zijn behalve $\ln (\alpha )$ alle coëfficiënten algebraïsch.

• Is $\alpha$ een van 0 verschillend algebraïsch getal, dan volgt uit de stelling ook dat de getallen $e^{\alpha }$, sin(α), cos(α), tan(α), sinh(α), cosh(α) en tanh(α) transcendent zijn.

Korte tijd na het bewijs van de stelling van Lindemann-Weierstrass leverde David Hilbert een duidelijk vereenvoudigd bewijs voor de speciale gevallen van de transcendentie van de wiskundige constanten $e$ en $\pi$, waaruit ook weer de algemene stelling af te leiden is.

Zie ook

• Stelling van Gelfond-Schneider
• Transcendent getal
• Transcendentietheorie

Literatuur

• Sjabloon:De Ferdinand Lindemann: Über die Zahl $\pi$. (1882) In: Mathematische Annalen 20, pp. 213 - 225.
• Sjabloon:De David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und $\pi$. (1893) In: Mathematische Annalen 43, pp. 216 - 219.

Websites

• Sjabloon:En Lindemann-Weierstrass Theorem (Mathworld)