Formule van Euler

e^iφ

De formule van Euler, genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, is een vergelijking uit de complexe functietheorie, die een verband legt tussen de goniometrische functies en de exponentiële functie. De formule zegt dat voor ieder reële getal $x$ geldt dat:

$e^{ix}=\cos (x)+i\cdot \sin (x)$

Daarin is $e$ het grondtal van de natuurlijke logaritme, $i$ de imaginaire eenheid, en zijn $\sin$ en $\cos$ de goniometrische functies sinus en cosinus met het argument in radialen. De formule geldt ook voor complexe waarden van $x$.

Identiteit van Euler

Voor $x=\pi$ ontstaat de zogenaamde identiteit van Euler:

$e^{i\pi }+1=0$

Of in een andere vorm:

$e^{i\pi }=-1$

Sinus en cosinus

Omgekeerd kunnen de sinus en de cosinus met behulp van de formule van Euler worden afgeleid :

$\sin (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

Bewijzen

Er zijn verschillende manieren om de formule van Euler te bewijzen.