Staart-sigma-algebra

In de maattheorie is een staart-σ-algebra van een rij σ-algebra's in een meetbare ruimte een speciale σ-algebra die het limietgedrag van de σ-algebra's beschrijft. De staart-σ-algebra is a.h.w. een deel van de 'staart' van de σ-algebra's, d.w.z. deel van elk willekeurig eind van de rij.

Staart-σ-algebra's bevatten alle gebeurtenissen waarvan het optreden niet beïnvloed wordt door het begin van de rij. Zij vinden toepassing in de studie van limieten. De bekendste toepassing is de Nul-één-wet van Kolmogorov.

Definitie

Laat $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ een meetbare ruimte zijn en $({𝒜}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ een rij deel-σ-algebra's van $𝒜$. Dan heet de σ-algebra

$𝒯(({𝒜}_n{)}_{n\in \mathbb{N}})=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sigma \left(\bigcup _{l=k}^{\mathrm{\infty }}{𝒜}_l\right)$

de staart-σ-algebra van de rij σ-algebra's of eenvoudigweg de staart-σ-algebra.

Hierin is

$\sigma \left(\bigcup _{l=k}^{\mathrm{\infty }}{𝒜}_l\right)$

de σ-algebra voortgebracht door de deel-σ-algebra's vanaf de index $k$.

De staart-σ-algebra van een aantal gebeurtenissen $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ wordt gedefinieerd als de staart-σ-algebra van de rij σ-algebra's ${𝒜}_n=\{A_n,A_n^c,\varnothing ,\mathrm{\Omega }\}$.

De staart-σ-algebra van een aantal stochastische variabelen $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ wordt gedefinieerd als de staart-σ-algebra van de rij σ-algebra's $(\sigma (X_n){)}_{n\in \mathbb{N}}$ voortgebracht door de stochastische variabelen.

De notatie voor de staart-σ-algebra nis niet eenduidig in de literatuur. Een van de notaties is met $𝒜$ (voor "asymptotisch"), maar ook ${𝒯}_{\mathrm{\infty }},{𝒢}_{\mathrm{\infty }},{ℰ}_{\mathrm{\infty }}$ en ${\sigma }_{\mathrm{\infty }}$ komen voor.

Afgeleide begrippen

Elke gebeurtenis in de staart-σ-algebra wordt een staartgebeurtenis of asymptotische gebeurtenis genoemd.

Een functie $f:X\to \overline{ℝ}$ die $𝒯(ℬ(\overline{ℝ}))$- meetbaar is, heet een staartfunctie.

Uitleg

De betekenis van de staart-σ-algebra wordt duidelijker door de volgende definitie: de σ-algebra

${𝒞}_k=\sigma \left(\bigcup _{l=k}^{\mathrm{\infty }}{𝒜}_l\right)$

bevat alle gebeurtenissen uit de σ-algebra's ${𝒜}_l$ voor $l\ge k$.

De staart-σ-algebra is de doorsnede van al deze stelsels ${𝒞}_k$

$𝒯=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{𝒞}_k$

en omvat dus die gebeurtenissen die zijn bevat in alle ${𝒞}_k$. De staart-σ-algebra bevat dus alle gebeurtenissen die niet afhankelijk zijn van de eerste $k$ σ-algebra's voor elke $k$. Een verandering van een eindig aantal van deze σ-algebra's verandert dus niet staart-σ-algebra.

Eigenschappen

• de staart-σ-algebra is niet triviaal in de zin dat ze meer gebeurtenissen bevat dan alleen de uitkomstenruimte $\mathrm{\Omega }$ en de lege verzameling. Zo zijn bijvoorbeeld de limsup en de liminf van rijen gebeurtenissen als staartgebeurtenissen opgenomen, dus in de staart-σ-algebra. Ook zijn er niet-triviale staartfuncties. Zij omvatten bijvoorbeeld de limsup en de liminf van een rij stochastische variabelen, en de grenzen van Cesarosommen.
• Een van de belangrijkste uitspraken over de staart-σ-algebra is de Nul-één-wet van Kolmogorov, die zegt dat als $({𝒜}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ onafhankelijke σ-algebra's zijn op de kansruimte $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$, de staart-σ-algebra $𝒯$ een P-triviale σ-algebra is, wat betekent dat voor elke staartgebeurtenis $A\in 𝒯$ geldt: $P(A)=0$ of $P(A)=1$.
• Bovendien is de staart-σ-algebra steeds in de uitwisselbare σ-algebra $ℰ$ bevat. Is $X=(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ een uitwisselbare rij stochastische variabelen, dan is er ook voor elke uitwisselbare gebeurtenis $A\in ℰ$ een staartgebeurtenis $B\in 𝒯$, zo, dat de kans op het symmetrisch verschil 0 is: $P(A\mathrm{△}B)=0$.

Literatuur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 3e druk, Springer-Verlag, Berlijn, Heidelberg, 2013, ISBN=978-3-642-36017-6
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1e druk, Vieweg, Wiesbaden, 2003, ISBN=3-528-03183-2
• Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4e druk, Walter de Gruyter, Berlijn, 2009, ISBN=978-3-11-021526-7
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, Eine Einführung, 2e herziene druk, Springer-Verlag, Berlijn Heidelberg, 2014,ISBN=978-3-642-45386-1
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit, 2e verbeterde druk, Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York, 2011, ISBN=978-3-642-21025-9