Uitwisselbare sigma-algebra

In de kansrekening is de uitwisselbare σ-algebra van een familie van stochastische variabelen een speciale σ-algebra waarvan de elementen invariant zijn onder bepaalde permutaties. Uitwisselbare σ-algebra's komen voor in het kader van uitwisselbare families van stochastische variabelen en bij de Nul-één-wet van Hewitt-Savage.

Definitie

Laat $X=(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ een stochastisch proces zijn, waarvan iedere $X_n$ waarden in $E$ heeft, en ${ℱ}_n$ de verzameling van n-symmetrische, meetbare functies $f:E^{\mathbb{N}}\to ℝ$.

De door deze functies voortgebrachte σ-algebra is:

${𝒮}_n=\sigma ({ℱ}_n)$

Dan is:

${ℰ}_n=X^{-1}({𝒮}_n)$

de σ-algebra van alle onder permutaties van de eerste $n$ indices van het stochastische proces invariante gebeurtenissen.

De uitwisselbare σ-algebra is dan:

$ℰ=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{ℰ}_n$

en daarmee de σ-algebra van alle onder eindige permutaties van de indices van het stochastische proces invariante gebeurtenissen.

Verband met de staart-σ-algebra

De staart-σ-algebra is altijd deel van de uitwisselbare σ-algebra, aangezien met de voorstelling van de staart-σ-algebra

$𝒯=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )$

altijd geldt

$\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )\subset {ℰ}_n$

en dus

$𝒯=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )\subset \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{ℰ}_n=ℰ$.

Er zijn voorbeelden waarin de uitwisselbare σ-algebra gebeurtenissen bevat die niet behoren tot de staart-σ-algebra. De uitwisselbare σ-algebra is dan strikt groter dan de staart-σ-algebra.

Omgekeerd kan worden aangetoond dat voor een uitwisselbare familie van stochastische variabelen $(X_1,X_2,\dots )$ bij elke gebeurtenis $A\in ℰ$ een staartgebeurtenis $B\in 𝒯$ bestaat, waarvoor voor het symmetrisch verschil geldt: $P(A\mathrm{△}B)=0$ (de omgekeerde conclusie is vanwege $𝒯\subset ℰ$ triviaal). Voor elke gebeurtenis in de uitwisselbare σ-algebra bestaat er dus een gebeurtenis in de staart-σ-algebra, zodat het symmetrisch verschil een nulverzameling is.

Daaruit laat zich direct de Nul-één-wet van Hewitt-Savage afleiden, namelijk dat de uitwisselbare σ-algebra van een rij onafhankelijke gelijkverdeelde stochastische variabelen een P-triviale σ-algebra is. Volgens de Nul-één wet van Kolmogorov is dan de staart-σ-algebra P-triviaal en op basis van het bovenstaande resultaat ook de uitwisselbare σ-algebra.

Literatuur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 3e druk, p.237-247, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013, ISBN=978-3-642-36017-6