Nul-één-wet van Kolmogorov

De Nul-één-wet van Kolmogorov is een wiskundige stelling in de kansrekening over de mogelijke kansen op bepaalde limieten. De wet behoort tot de nul-één-wetten en beschrijft een klasse van gebeurtenissen die bijna zeker (met kans 1) of bijna nooit (met kans 0) optreden. De wet is genoemd naar Andrey Kolmogorov.

Stelling

Zij $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ een kansruimte en $({𝒜}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ een rij σ-algebra's in $𝒜$, dat wil zeggen ${𝒜}_n\subseteq 𝒜$ voor alle $n\in \mathbb{N}$. Als de σ-algebra's ${𝒜}_n$ onderling onafhankelijk zijn, is de staart-σ-algebra $𝒯$ van de rij $({𝒜}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ P-triviaal, wat wil zeggen dat voor elke staartgebeurtenis $T\in 𝒯$ geldt: $P(T)=0$ of $P(T)=1$.

Analoge uitspraken gelden voor de staart-σ-algebra van een rij onderling onafhankelijke stochastische variabelen, en voor de staart-σ-algebra van een rij onderling onafhankelijke gebeurtenissen.

Gevolgen

Laat $X_1,X_2,\dots$ een rij onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn en $𝒯$ de bijbehorende staart-σ-algebra. Gemakkelijk kan bewezen worden dat $\{\omega \mid X_n(\omega )\text{convergeert voor }n\to \mathrm{\infty }\}\in 𝒯$. De rij $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ convergeert of divergeert dus bijna zeker. Als in het geval van convergentie $X$ de limiet is, dan kan aangetoond worden dat $X$ een $𝒯$-meetbare stochastische variabele is. Omdat $\sigma (𝒯)$ triviaal is, moet $X$ noodzakelijk constant zijn.

Bovendien kan via de Nul-één-wet van Kolmogorov, de Nul-één-wet van Hewitt-Savage afgeleid worden.