Semi-algebraïsche verzameling

In de algebraïsche meetkunde is een semi-algebraïsche verzameling een deelverzameling van een n-dimensionale ruimte gedefinieerd door een eindige combinatie van polynomiale (on)gelijkheden. Ook de vereniging en/of doorsnede van een eindig aantal van dergelijke verzamelingen is een semi-algebraïsche verzameling.

Definitie

Een semi-algebraïsche verzameling $A\subset {ℝ}^n$ wordt gedefinieerd als:

$A=\bigcup _{\ell =1}^m\{x\in {ℝ}^n\mid p_{j\ell }(x){ϵ}_{j\ell }0,j=1,\dots ,k\}$.

waarbij:

$p_{j\ell }$, reële polynomen, met $j=1,\dots ,k$, $\ell =1,\dots ,m$

${ϵ}_{j\ell }$, een van de volgende relaties: >, = of <

Eigenschappen

• Het complement van een semi-algebraïsche verzameling is opnieuw een semi-algebraïsche verzameling.
• De stelling van Tarski-Seidenberg garandeert dat een projectie van een semi-algebraïsche verzameling opnieuw een semi-algebraïsche verzameling is. Eliminatie is ook altijd mogelijk voor stelsels van reële algebraïsche vergelijkingen. Deze stelling geldt niet als men "reële" vervangt door "gehele".

Voorbeeld

We definiëren:

$S_1=\{(x,y)\in {ℝ}^2|x^2+y^2-4<0\}$

$S_2=\{(x,y)\in {ℝ}^2|x+y-1=0\}$

Enkele semi-algebraïsche verzamelingen kunnen geconstrueerd worden met de genoemde verzamelingen:

$S_3=S_1\cup S_2$

$S_4=S_1\cap S_2$

De verzameling $S_4$ kan ook gedefinieerd worden als:

$S_4=\{(x,y)\in {ℝ}^2|x^2+y^2-4<0,x+y-1=0\}$