Complement (verzamelingenleer)

Het complement $A^c$ van de deelverzameling $A$ van $U$:
$A^c=U\setminus A$.

In de verzamelingenleer is het complement van een deelverzameling $A$ gedefinieerd met betrekking tot een verzameling $U$ waarvan alle betrokken verzamelingen deel van zijn. Het complement van $A$ is de deelverzameling van $U$ bestaande uit alle elementen van $U$ die niet tot $A$ behoren.

De verzameling $U$ wordt in dit verband als universele verzameling aangeduid en het complement van $A$ genoteerd als

$A^c$ of $\overline{A}$,

zonder verdere verwijzing naar $U$; dus:

$A^c=\{x\in U\mid x\notin A\}$

Is $U$ niet de universele verzameling, dan is er sprake van een relatief complement en is er geen speciale notatie. Het relatieve complement van $A$ ten opzichte van $B$ kan uitgedrukt worden als verschil

$B\setminus A$

of

$B-A$

Eigenschappen

Het complement van het complement van een verzameling is de verzameling zelf:

$(A^c{)}^c=A$

Samen met het complement vormt een verzameling de hele universele verzameling:

$A^c\cup A=U$

Een verzameling heeft geen gemeenschappelijk element met zijn complement:

$A^c\cap A=\mathrm{\varnothing }$

'Buiten' de universele verzameling is niets:

$U^c=\mathrm{\varnothing }$

${\mathrm{\varnothing }}^c=U$

Regels van De Morgan:

$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$

$(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$