Reëel deel

Hoofdletter R in Fraktur

Het reële deel van het complexe getal $z=x+iy$ is $x$.

Van een complex getal $z$, weergegeven met de reële getallen $x$ en $y$ als $z=x+iy$, heet $x$ het reële deel van $z$. Wordt $z$ voorgesteld als het geordende paar $z=(x,y)$ dan is het eerste element van het paar het reële deel van $z$. Een complex getal heeft dus een reëel deel en een imaginair deel.

Het reële deel van $z$ wordt genoteerd als $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$ of ook als $\mathrm{\Re }(z),$ waarin $\mathrm{\Re }$ de hoofdletter R is in Fraktur.

Eigenschappen

De complexe functie die het complexe getal $z$ afbeeldt op zijn reële deel, is niet holomorf.

Met behulp van de complex geconjugeerde $\overline{z}$ van $z$ kan het reële deel van $z$ geschreven worden als

$\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}$.

Voor de polaire vorm

$z=r{e}^{i\phi }=r(\cos \phi +i\sin \phi )$

geldt

$\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=r\cos \phi$.

Voorbeelden

• Berekeningen met echte periodieke functies, zoals wisselstromen en elektromagnetische velden worden vereenvoudigd door ze als reële delen van complexe functies op te schrijven, met een fasor.
• Een sinusoïde kan op dezelfde manier als het reële deel van een complexe $e$-macht worden geschreven. Bijvoorbeeld:

$\begin{array}{cc}\cos (n\theta )+\cos ((n-2)\theta )& =\mathrm{R}\mathrm{e}(e^{in\theta }+e^{i(n-2)\theta })\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}((e^{i\theta }+e^{-i\theta })\cdot e^{i(n-1)\theta })\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}(2\cos (\theta )\cdot e^{i(n-1)\theta })\\ & =2\cos (\theta )\cdot \mathrm{R}\mathrm{e}\left(e^{i(n-1)\theta }\right)\\ & =2\cos (\theta )\cdot \cos ((n-1)\theta ).\end{array}$