Imaginair deel

Fraktur I symbool

Een illustratie van het complexe vlak. Het imaginaire deel van het complexe getal $z=x+iy$ is $y$.

Van een complex getal $z$, weergegeven met de reële getallen $x$ en $y$ als $z=x+iy$, heet $y$ het imaginaire deel van $z.$ Wordt $z$ voorgesteld als het geordende paar $z=(x,y)$ dan is het tweede element van het paar het imaginaire deel van $z.$

Het imaginaire deel van $z$ wordt genoteerd als $\mathrm{I}\mathrm{m}(z)$ of ook als $\mathrm{\Im }(z),$ waarin $\mathrm{\Im }$ de hoofdletter I in het lettertype Fraktur is.

Eigenschappen

De complexe functie die het complexe getal $z$ afbeeldt op zijn imaginaire deel, is niet holomorf.

Met behulp van de complex geconjugeerde $\overline{z}$ van $z$ kan het imaginaire deel van $z$ geschreven worden als

$\mathrm{I}\mathrm{m}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$.

Voor de polaire vorm

$z=r{e}^{i\phi }=r(\cos \phi +i\sin \phi )$

geldt

$\mathrm{I}\mathrm{m}(z)=r\sin \phi$.

Overige

• Het reële deel van een complex getal $z=x+iy$ is $x$.
• Een complex getal $z=iy$, waarvan het reële deel dus gelijk aan 0 is, heet een imaginair getal.