Pauli-spinmatrix

In de natuurkunde zijn de pauli-spinmatrices drie hermitische en unitaire 2×2-matrices. Ze worden meestal aangeduid met de Griekse letter sigma σ, maar ook wel met de tau τ, als ze met de symmetrieën van de isospin in verband worden gebracht.

De pauli-spinmatrices zijn:

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2={\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3={\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Ze zijn naar de Oostenrijkse natuurkundige Wolfgang Pauli 1900-1958 genoemd, die ze in zijn theorie voor de kwantummechanische spin gebruikte.

Het spoor van de drie matrices is 0.

De reële deelalgebra die wordt voortgebracht door de ${\sigma }_i$, dus de verzameling van reële of complexe lineaire combinaties van de pauli-spinmatrices, is de volledige verzameling ${\mathrm{M}}_2(ℂ)$ van complexe hermitische 2×2-matrices. Deze algebra is isomorf met de reële clifford-algebra van de ${ℝ}^3$, zodat de pauli-spinmatrices voorzien in een expliciet isomorfisme.

Vermenigvuldigingstabel

Noem

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$

dan volgt

$\cdot$	$I_2$	${\sigma }_1$	${\sigma }_2$	${\sigma }_3$
$I_2$	$I_2$	${\sigma }_1$	${\sigma }_2$	${\sigma }_3$
${\sigma }_1$	${\sigma }_1$	$I_2$	$\mathrm{i}{\sigma }_3$	$-\mathrm{i}{\sigma }_2$
${\sigma }_2$	${\sigma }_2$	$-\mathrm{i}{\sigma }_3$	$I_2$	$\mathrm{i}{\sigma }_1$
${\sigma }_3$	${\sigma }_3$	$\mathrm{i}{\sigma }_2$	$-\mathrm{i}{\sigma }_1$	$I_2$

dus

${\sigma }_i{\sigma }_j=-{\sigma }_j{\sigma }_i$ voor $i\ne j$

Literatuur

• W Pauli. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, 1927. in Zeitschrift für Physik, 43, blz 601