Nabla in verschillende assenstelsels

Dit is een lijst van enkele formules uit vectoranalyse voor het werken met veelvoorkomende kromlijnige coördinatenstelsels: cartesische coördinaten, cilindercoördinaten, bolcoördinaten.

Conversies tussen stelsels

conversies tussen cartesische, cilinder- en bolcoördinaten^[1]
		van
		cartesisch	cilindrisch	bol
naar	cartesisch	$\begin{matrix} x & = x \\ y & = y \\ z & = z \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = ρ \cos φ \\ y & = ρ \sin φ \\ z & = z \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = r \sin θ \cos φ \\ y & = r \sin θ \sin φ \\ z & = r \cos θ \end{matrix}$
	cilindrisch	$\begin{matrix} ρ & = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ φ & = \arctan (\frac{y}{x}) \\ z & = z \end{matrix}$	$\begin{matrix} ρ & = ρ \\ φ & = φ \\ z & = z \end{matrix}$	$\begin{matrix} ρ & = r \sin θ \\ φ & = φ \\ z & = r \cos θ \end{matrix}$
	bol	$\begin{matrix} r & = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ θ & = \arctan (\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{z}) \\ φ & = \arctan (\frac{y}{x}) \end{matrix}$	$\begin{matrix} r & = \sqrt{ρ^{2} + z^{2}} \\ θ & = \arctan (\frac{ρ}{z}) \\ φ & = φ \end{matrix}$	$\begin{matrix} r & = r \\ φ & = φ \\ θ & = θ \end{matrix}$

Conversies tussen eenheidsvectoren

conversies tussen eenheidsvectoren in cartesische, cilindrische en bolcoördinaten in termen van bestemmingscoördinaten^[1]
	cartesische	cilindrische	bol
cartesische	Sjabloon:N/a	$\begin{matrix} \hat{𝐱} & = \cos φ \hat{𝝆} - \sin φ \hat{𝝋} \\ \hat{𝐲} & = \sin φ \hat{𝝆} + \cos φ \hat{𝝋} \\ \hat{𝐳} & = \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐱} & = \sin θ \cos φ \hat{𝐫} + \cos θ \cos φ \hat{𝜽} - \sin φ \hat{𝝋} \\ \hat{𝐲} & = \sin θ \sin φ \hat{𝐫} + \cos θ \sin φ \hat{𝜽} + \cos φ \hat{𝝋} \\ \hat{𝐳} & = \cos θ \hat{𝐫} - \sin θ \hat{𝜽} \end{matrix}$
cilindrische	$\begin{matrix} \hat{𝝆} & = \frac{x \hat{𝐱} + y \hat{𝐲}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \hat{𝝋} & = \frac{- y \hat{𝐱} + x \hat{𝐲}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \hat{𝐳} & = \hat{𝐳} \end{matrix}$	Sjabloon:N/a	$\begin{matrix} \hat{𝝆} & = \sin θ \hat{𝐫} + \cos θ \hat{𝜽} \\ \hat{𝝋} & = \hat{𝝋} \\ \hat{𝐳} & = \cos θ \hat{𝐫} - \sin θ \hat{𝜽} \end{matrix}$
bol	$\begin{matrix} \hat{𝐫} & = \frac{x \hat{𝐱} + y \hat{𝐲} + z \hat{𝐳}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ \hat{𝜽} & = \frac{(x \hat{𝐱} + y \hat{𝐲}) z - (x^{2} + y^{2}) \hat{𝐳}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \hat{𝝋} & = \frac{- y \hat{𝐱} + x \hat{𝐲}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐫} & = \frac{ρ \hat{𝝆} + z \hat{𝐳}}{\sqrt{ρ^{2} + z^{2}}} \\ \hat{𝜽} & = \frac{z \hat{𝝆} - ρ \hat{𝐳}}{\sqrt{ρ^{2} + z^{2}}} \\ \hat{𝝋} & = \hat{𝝋} \end{matrix}$	Sjabloon:N/a

conversies tussen eenheidsvectoren in cartesische, cilindrische en bolcoördinaten in termen van oorsprongscoördinaten
	cartesische	cilindrische	bol
cartesische	Sjabloon:N/a	$\begin{matrix} \hat{𝐱} & = \frac{x \hat{𝝆} - y \hat{𝝋}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \hat{𝐲} & = \frac{y \hat{𝝆} + x \hat{𝝋}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \hat{𝐳} & = \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐱} & = \frac{x (\sqrt{x^{2} + y^{2}} \hat{𝐫} + z \hat{𝜽}) - y \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \hat{𝝋}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ \hat{𝐲} & = \frac{y (\sqrt{x^{2} + y^{2}} \hat{𝐫} + z \hat{𝜽}) + x \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \hat{𝝋}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ \hat{𝐳} & = \frac{z \hat{𝐫} - \sqrt{x^{2} + y^{2}} \hat{𝜽}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \end{matrix}$
cilindrische	$\begin{matrix} \hat{𝝆} & = \cos φ \hat{𝐱} + \sin φ \hat{𝐲} \\ \hat{𝝋} & = - \sin φ \hat{𝐱} + \cos φ \hat{𝐲} \\ \hat{𝐳} & = \hat{𝐳} \end{matrix}$	Sjabloon:N/a	$\begin{matrix} \hat{𝝆} & = \frac{ρ \hat{𝐫} + z \hat{𝜽}}{\sqrt{ρ^{2} + z^{2}}} \\ \hat{𝝋} & = \hat{𝝋} \\ \hat{𝐳} & = \frac{z \hat{𝐫} - ρ \hat{𝜽}}{\sqrt{ρ^{2} + z^{2}}} \end{matrix}$
bol	$\begin{matrix} \hat{𝐫} & = \sin θ (\cos φ \hat{𝐱} + \sin φ \hat{𝐲}) + \cos θ \hat{𝐳} \\ \hat{𝜽} & = \cos θ (\cos φ \hat{𝐱} + \sin φ \hat{𝐲}) - \sin θ \hat{𝐳} \\ \hat{𝝋} & = - \sin φ \hat{𝐱} + \cos φ \hat{𝐲} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐫} & = \sin θ \hat{𝝆} + \cos θ \hat{𝐳} \\ \hat{𝜽} & = \cos θ \hat{𝝆} - \sin θ \hat{𝐳} \\ \hat{𝝋} & = \hat{𝝋} \end{matrix}$	Sjabloon:N/a

Formules met de gradiënt

Tabel met nabla-operator in cartesische, cilindrische en bolcoördinaten
operatie	cartesische coördinaten (x, y, z)	cilindercoördinaten (ρ, φ, z)	bolcoördinaten (r, θ, φ), waar φ de azimutale en θ de polaire hoek is^[2]
vectorveld A	$A_{x} \hat{𝐱} + A_{y} \hat{𝐲} + A_{z} \hat{𝐳}$	$A_{ρ} \hat{𝝆} + A_{φ} \hat{𝝋} + A_{z} \hat{𝐳}$	$A_{r} \hat{𝐫} + A_{θ} \hat{𝜽} + A_{φ} \hat{𝝋}$
gradiënt ∇f^[1]	$\frac{\partial f}{\partial x} \hat{𝐱} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{𝐲} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{𝐳}$	$\frac{\partial f}{\partial ρ} \hat{𝝆} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial f}{\partial φ} \hat{𝝋} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{𝐳}$	$\frac{\partial f}{\partial r} \hat{𝐫} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} \hat{𝜽} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial f}{\partial φ} \hat{𝝋}$
divergentie ∇ ⋅ A^[1]	$\frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$	$\frac{1}{ρ} \frac{\partial (ρ A_{ρ})}{\partial ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial A_{φ}}{\partial φ} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$	$\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial (r^{2} A_{r})}{\partial r} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (A_{θ} \sin θ) + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial A_{φ}}{\partial φ}$
rotatie ∇ × A^[1]	$\begin{matrix} (\frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z}) & \hat{𝐱} \\ + (\frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x}) & \hat{𝐲} \\ + (\frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y}) & \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\frac{1}{ρ} \frac{\partial A_{z}}{\partial φ} - \frac{\partial A_{φ}}{\partial z}) & \hat{𝝆} \\ + (\frac{\partial A_{ρ}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial ρ}) & \hat{𝝋} \\ + \frac{1}{ρ} (\frac{\partial (ρ A_{φ})}{\partial ρ} - \frac{\partial A_{ρ}}{\partial φ}) & \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{1}{r \sin θ} (\frac{\partial}{\partial θ} (A_{φ} \sin θ) - \frac{\partial A_{θ}}{\partial φ}) & \hat{𝐫} \\ + \frac{1}{r} (\frac{1}{\sin θ} \frac{\partial A_{r}}{\partial φ} - \frac{\partial}{\partial r} (r A_{φ})) & \hat{𝜽} \\ + \frac{1}{r} (\frac{\partial}{\partial r} (r A_{θ}) - \frac{\partial A_{r}}{\partial θ}) & \hat{𝝋} \end{matrix}$
laplace-operator ∇²f ≡ ∆f^[1]	$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$	$\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ \frac{\partial f}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial φ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$	$\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial φ^{2}}$
vector Laplaciaan ∇²A ≡ ∆A	$\nabla^{2} A_{x} \hat{𝐱} + \nabla^{2} A_{y} \hat{𝐲} + \nabla^{2} A_{z} \hat{𝐳}$	$\begin{matrix} (\nabla^{2} A_{ρ} - \frac{A_{ρ}}{ρ^{2}} - \frac{2}{ρ^{2}} \frac{\partial A_{φ}}{\partial φ}) & \hat{𝝆} \\ + (\nabla^{2} A_{φ} - \frac{A_{φ}}{ρ^{2}} + \frac{2}{ρ^{2}} \frac{\partial A_{ρ}}{\partial φ}) & \hat{𝝋} \\ + \nabla^{2} A_{z} & \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\nabla^{2} A_{r} - \frac{2 A_{r}}{r^{2}} - \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial (A_{θ} \sin θ)}{\partial θ} - \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial A_{φ}}{\partial φ}) & \hat{𝐫} \\ + (\nabla^{2} A_{θ} - \frac{A_{θ}}{r^{2} \sin^{2} θ} + \frac{2}{r^{2}} \frac{\partial A_{r}}{\partial θ} - \frac{2 \cos θ}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial A_{φ}}{\partial φ}) & \hat{𝜽} \\ + (\nabla^{2} A_{φ} - \frac{A_{φ}}{r^{2} \sin^{2} θ} + \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial A_{r}}{\partial φ} + \frac{2 \cos θ}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial A_{θ}}{\partial φ}) & \hat{𝝋} \end{matrix}$

Rekenregels

$div grad f \equiv \nabla \cdot \nabla f \equiv \nabla^{2} f$
$rot grad f \equiv \nabla \times \nabla f = 𝟎$
$div rot 𝐀 \equiv \nabla \cdot (\nabla \times 𝐀) = 0$
$rot rot 𝐀 \equiv \nabla \times (\nabla \times 𝐀) = \nabla (\nabla \cdot 𝐀) - \nabla^{2} 𝐀$ , Lagrange's formule voor de gradiënt
$\nabla^{2} (f g) = f \nabla^{2} g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \nabla^{2} f$

Sjabloon:Appendix

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 DJ Griffiths. Introduction to Electrodynamics, 2012. isbn 978-0-321-85656-2
↑ Deze pagina gebruikt $θ$ voor de polaire hoek en $φ$ voor de azimutale hoek. Dat is de gebruikelijke notatie voor natuurkunde. De bron voor deze formules gebruikt $θ$ voor de azimutale hoek en $φ$ voor de polaire hoek, dat is de gebruikelijke wiskundige notatie. Om de wiskundige variant te krijgen, verwissel $θ$ en $φ$ in de bovenstaande tabel.

[griffiths-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 DJ Griffiths. Introduction to Electrodynamics, 2012. isbn 978-0-321-85656-2

[2] Deze pagina gebruikt $θ$ voor de polaire hoek en $φ$ voor de azimutale hoek. Dat is de gebruikelijke notatie voor natuurkunde. De bron voor deze formules gebruikt $θ$ voor de azimutale hoek en $φ$ voor de polaire hoek, dat is de gebruikelijke wiskundige notatie. Om de wiskundige variant te krijgen, verwissel $θ$ en $φ$ in de bovenstaande tabel.

[1]

[2]

Nabla in verschillende assenstelsels

Inhoud

Conversies tussen stelsels

Conversies tussen eenheidsvectoren

Formules met de gradiënt

Rekenregels

Navigatiemenu

Nabla in verschillende assenstelsels

Conversies tussen stelsels

Conversies tussen eenheidsvectoren

Formules met de gradiënt

Rekenregels

Navigatiemenu

Zoeken