Bolcoördinaten

Punt $(r,\theta ,\phi )$ bepaald door bolcoördinaten met de voerstraal $r$ en de twee hoeken $\theta$ en $\phi$

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt in drie dimensies de afstand $r$ van het punt $P$ tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. De beide andere coördinaten zijn hoeken. De tweede coördinaat is de hoek $\theta$ die de lijn $OP$ met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval $[0,\pi ]$. De derde coördinaat is de hoek $\phi$ die de projectie van $OP$ in het $xy$-vlak maakt met de positieve $x$-as. Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de natuurkunde en materiaalkunde. In een wiskundige context worden vaak de rollen van $\theta$ en $\phi$ omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van $r$ het symbool $\rho$ gebruikt.

Het verband tussen de cartesische coördinaten $(x,y,z)$ en de bolcoördinaten $(r,\theta ,\phi )$ wordt gegeven door:

$x=r\sin (\theta )\cos (\phi )$

$y=r\sin (\theta )\sin (\phi )$

$z=r\cos (\theta )$

Op de $z$-as is het stelsel gedegenereerd: voor $\theta =0$ doet de hoek $\phi$ niet ter zake en geldt $(x,y,z)=(0,0,r)$. Evenzo: voor $\theta =\pi$ geldt $(x,y,z)=(0,0,-r)$. Voor $r=0$ doen de hoeken $\theta$ en $\phi$ niet ter zake en geldt $(x,y,z)=(0,0,0)$.

Jacobiaan

De jacobi-matrix van deze transformatie is:

$J=\frac{\partial (r,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{x}{r}& \frac{y}{r}& \frac{z}{r}\\ \frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}& \frac{x}{x^2+y^2}& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin (\theta )\cos (\phi )& \sin (\theta )\sin (\phi )& \cos (\theta )\\ \frac{1}{r}\cos (\theta )\cos (\phi )& \frac{1}{r}\cos (\theta )\sin (\phi )& -\frac{1}{r}\sin (\theta )\\ -\frac{1}{r}\frac{\sin (\phi )}{\sin (\theta )}& \frac{1}{r}\frac{\cos (\phi )}{\sin (\theta )}& 0\end{array}\right]$

Omgekeerd

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}=\left[\begin{array}{ccc}\sin (\theta )\cos (\phi )& r\cos (\theta )\cos (\phi )& -r\sin (\theta )\sin (\phi )\\ \sin (\theta )\sin (\phi )& r\cos (\theta )\sin (\phi )& r\sin (\theta )\cos (\phi )\\ \cos (\theta )& -r\sin (\theta )& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{x}{r}& \frac{zx}{\sqrt{x^2+y^2}}& -y\\ \frac{y}{r}& \frac{zy}{\sqrt{x^2+y^2}}& x\\ \frac{z}{r}& -\sqrt{x^2+y^2}& 0\end{array}\right]$

Coördinatentransformatie

Een functie $f$ van de drie variabelen $x$, $y$ en $z$ krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

$f_B(r,\theta ,\phi )=f(r\sin (\theta )\cos (\phi ),r\sin (\theta )\sin (\phi ),r\cos (\theta ))$

Een vectorveld $F$, met in het punt $(x,y,z)$ de componenten

$F_x(x,y,z),F_y(x,y,z)$ en $F_z(x,y,z)$,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal $r$ en loodrecht daarop in een component in de "richting" van $\phi$ en in de "richting" van $\theta$, de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door $r$ in het vlak door $r$ en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door $r$ en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

$F_r=F_x\sin (\theta )\cos (\phi )+F_y\sin (\theta )\sin (\phi )+F_z\cos (\theta )$

$F_{\theta }=-F_x\sin (\phi )+F_y\cos (\phi )$

$F_{\phi }=F_x\cos (\theta )\cos (\phi )+F_y\cos (\theta )\sin (\phi )-F_z\sin (\theta )$

Omgekeerd:

$F_x=F_r\cos (\phi )\sin (\theta )-F_{\phi }\sin (\phi )+F_{\theta }\cos (\phi )\cos (\theta )$

$F_y=F_r\sin (\phi )\sin (\theta )+F_{\phi }\cos (\phi )+F_{\theta }\sin (\phi )\cos (\theta )$

$F_z=F_r\cos (\theta )-F_{\theta }\sin (\theta )$

Voorbeeld

De functie $f$ gedefinieerd door:

$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

$f_B(r,\theta ,\phi )=f(r\sin (\theta )\cos (\phi ),r\sin (\theta )\sin (\phi ),r\cos (\theta ))=$

$(r\sin (\theta )\cos (\phi ){)}^2+(r\sin (\theta )\sin (\phi ){)}^2+(r\cos (\theta ){)}^2=r^2$

Het vectorveld $F$ gedefinieerd door:

$F_x(x,y,z)=x$

$F_y(x,y,z)=y$

$F_z(x,y,z)=z$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

$F_r(r,\theta ,\phi )=F_x\sin (\theta )\cos (\phi )+F_y\sin (\theta )\sin (\phi )+F_z\cos (\theta )=$

$x\sin (\theta )\cos (\phi )+y\sin (\theta )\sin (\phi )+z\cos (\theta )=r$

$F_{\theta }(r,\theta ,\phi )=-F_x\sin (\phi )+F_y\cos (\phi )=-x\sin (\phi )+y\cos (\phi )=0$

$F_{\phi }(r,\theta ,\phi )=F_x\cos (\theta )\cos (\phi )+F_y\cos (\theta )\sin (\phi )-F_z\sin (\theta )=$

$x\cos (\theta )\cos (\phi )+y\cos (\theta )\sin (\phi )-z\sin (\theta )=0$

Coördinaten op een boloppervlak

Een boloppervlak met straal $R$ heeft in bolcoördinaten de vergelijking $r=R$ indien als oorsprong het middelpunt van de bol wordt gekozen. Op het boloppervlak heeft men zo een coördinatenstelsel met de twee overige coördinaten. Bovengenoemde $\theta$ wordt vaak vervangen door zijn complement. Het verband tussen de cartesische coördinaten $x,y,z$ en de bolcoördinaten $\theta ,\varphi$ op het boloppervlak met straal $r$ wordt dan dus gegeven door: (merk op dat deze formules niet overeen komen met de tekening op deze pagina hierboven; dit komt omdat er een andere keuze is gemaakt voor de hoeken)

$x=r\cos \theta \cos \varphi$

$y=r\cos \theta \sin \varphi$

$z=r\sin \theta$

Omgekeerd zijn:

$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)$

$\varphi ={\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$

Per toepassing, waaronder geografische coördinaten en diverse variaties van astronomische coördinatenstelsels, variëren de gebruikte termen, maar een systeem van gemeenschappelijke termen (eventueel tussen aanhalingstekens geschreven) is als volgt: voor $\theta$ breedte, voor $\varphi$ lengte, voor het punt $\theta =\pi /2$ noordpool, voor het punt $\theta =-\pi /2$ zuidpool, en voor het vlak $\theta =0$ basisvlak, evenaar of equator.

Er kan nog gekozen worden in welke richting geldt dat de hierboven met $\theta$ aangeduide parameter nul is, en in welke daarop loodrechte richting $\varphi =0$.

Geografische coördinaten corresponderen met een $x$-, $y$- en $z$-as volgens de rechterhandregel, met een positieve $x$-as die de Aarde snijdt in Sjabloon:Nowrap, een positieve $y$-as in Sjabloon:Nowrap en een positieve $z$-as in 90° NB. Als oosterlengte positief wordt gerekend correspondeert deze volgens de rechterhandregel met de positieve $z$-richting.