Cilindercoördinaten

Punt $P$ in cilindercoördinaten

Cilindercoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, gelijkend op het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Te vergelijken met poolcoördinaten vormen van een punt $P=(x,y,z)$ de afstand $r$ tot de $z$-as en de hoek $\theta$ tussen de projectie van $OP$ op het $xy$-vlak en de positieve $x$-as de eerste twee coördinaten. De derde coördinaat wordt gegeven door $z$.

Het verband met de cartesische coördinaten $x$ en $y$ wordt gegeven door:

$x=r\cos (\theta )$

$y=r\sin (\theta )$

De $z$-coördinaat is dezelfde in beide stelsels.

Om verwarring van de hier gebruikte $r$ en die bij bolcoördinaten te voorkomen wordt bij cilindercoördinaten ook wel $\rho$ gebruikt.

Het gebruik van cilindercoördinaten is, net als bij poolcoördinaten, handig als er bij een object sprake is van symmetrie rond een as, bijvoorbeeld een cilinder.

Jacobi-matrix

De jacobi-matrix van de transformatie is:

$J=\frac{\partial (r,\theta ,z)}{\partial (x,y,z)}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{x}{r}& \frac{y}{r}& 0\\ \frac{-y}{r^2}& \frac{x}{r^2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& \sin (\theta )& 0\\ -\frac{1}{r}\sin (\theta )& \frac{1}{r}\cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Omgekeerd:

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -r\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& r\cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{x}{r}& -y& 0\\ \frac{y}{r}& x& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Vectorveld

Het is gebruikelijk een vectorveld

$F(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))$

in poolcoördinaten te ontbinden in een component $F_r$ langs de poolstraal in het $xy$-vlak, een component $F_{\theta }$ loodrecht daarop in de richting van de hoek $\theta$ en als derde component $F_z$. Voor deze componenten geldt:

$F_r=F_x\cos (\theta )+F_y\sin (\theta )$

$F_{\theta }=-F_x\sin (\theta )+F_y\cos (\theta )$

Omgekeerd:

$F_x=F_r\cos (\theta )-F_{\theta }\sin (\theta )$

$F_y=F_r\sin (\theta )+F_{\theta }\cos (\theta )$