Kubische kromme van Neuberg

De kubische kromme van Neuberg is de gepivoteerde isogonale kubische kromme met het snijpunt van de rechte van Euler en de oneindig verre rechte als pivot. De vergelijking in barycentrische coördinaten is

\begin{matrix} 𝒩 : & ((b^{2} - c^{2})^{2} + a^{2} (b^{2} + c^{2}) - 2 a^{4}) x (c^{2} y^{2} - b^{2} z^{2}) & + \\ ((c^{2} - a^{2})^{2} + b^{2} (a^{2} + c^{2}) - 2 b^{4}) y (a^{2} z^{2} - c^{2} x^{2}) & + \\ ((a^{2} - b^{2})^{2} + c^{2} (a^{2} + b^{2}) - 2 c^{4}) z (b^{2} x^{2} - a^{2} y^{2}) & = 0 \end{matrix}

Punten

De volgende punten liggen op de kubische kromme van Neuberg $𝒩$ van een driehoek:

de hoekpunten
$X (30)$
het hoogtepunt
het middelpunt van de omgeschreven cirkel
de hoekpunten van de spiegeldriehoek
de hoekpunten van gelijkzijdige driehoeken vastgeplakt aan de zijden van $A B C$
het punt van Fermat en het tweede isogone centrum
de anticomplementen van het punt van Fermat en het tweede isogone centrum
de isodynamische punten
de middelpunten van de ingeschreven en aangeschreven cirkels
de isotrope punten, $𝒩$ is dus circulair

Er zijn verschillende beschrijvingen van de kubische kromme van Neuberg $𝒩$ als meetkundige plaats van een vlakke kromme.

De punten $P$ zodat de lijn door $P$ en daarvan de isogonale verwant evenwijdig is met de rechte van Euler is $𝒩$ ,
De punten $P$ zodat de rechten van Euler van $P B C, A P C, A B P$ en $A B C$ door één punt gaan is de vereniging van $𝒩$ en de omgeschreven cirkel,
De punten $P$ zodat de assen van Brocard van $P B C, A P C, A B P$ en $A B C$ door één punt gaan is de vereniging van $𝒩$ en de omgeschreven cirkel,
De punten $P$ zodat de driehoek van middelpunten van omgeschreven cirkels van $P B C, A P C$ en $A B P$ perspectief is met $A B C$ is de vereniging van $𝒩$ en de omgeschreven cirkel.

Er zijn nog meer voorbeelden.^[1]

↑ Z Čerin. Locus Properties of the Neuberg Cubic, 1998. voor Journal of Geometry 63, blz 39-56