Rechte van Euler

Rechte van Euler

De rechte van Euler is de lijn door het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van een driehoek. De ontdekking van deze lijn wordt aan Leonhard Euler toegeschreven.

De verhouding van de lengtes van de lijnstukken HZ en ZO is HZ:ZO = 2:1. Het middelpunt van de negenpuntscirkel ligt ook op de rechte van Euler.

Het lijnstuk OZH uit de rechte van Euler heeft lengte

$OZH=\sqrt[2]{9R^2-(a^2+b^2+c^2)},$

waarbij a, b en c de lengten van de zijden zijn van ΔABC zijn en R de straal is van de omgeschreven cirkel van ΔABC.

Overige

• In barycentrische coördinaten gebruikmakend van conway-driehoeknotatie is de vergelijking van de rechte van Euler

$S_A(b^2-c^2)x+S_B(c^2-a^2)y+S_C(a^2-b^2)z=0$

• Het oneigenlijke punt van de rechte van Euler is het driehoekscentrum met kimberlingnummer X(30) en heeft barycentrische coördinaten

$((b^2-c^2{)}^2+a^2(b^2+c^2)-2a^4:(c^2-a^2{)}^2+b^2(a^2+c^2)-2b^4:(a^2-b^2{)}^2+c^2(a^2+b^2)-2c^4).$

Websites

• D Klingens. Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek, april 2007. Sjabloon:Pdf