Eenheid (algebra)

In de algebra, een deelgebied van de wiskunde, heet een element $u$ van een unitaire ring $R$ , d.w.z. een (niet noodzakelijk commutatieve) ring met een neutraal element 1 voor de vermenigvuldiging, een eenheid in $R$ , als $u$ een invers element voor de vermenigvuldiging heeft. Eenvoudig geformuleerd: een eenheid is een deler van 1.

De term moet niet verward worden met de term eenheid zoals die soms gebruikt wordt om het eenheidselement 1 van de ring aan te duiden, in een uitdrukkingen als 'ring met eenheid'. Om deze reden noemen sommige auteurs het element 1 de 'identiteit'.

Eigenschappen

De verzameling van alle eenheden vormt een groep voor de vermenigvuldiging. Het product van twee eenheden is immers ook weer een eenheid.
Als $R$ een lichaam (Ned) / veld (Be) is, dan is elk element, buiten het neutraal element van de optelling, een eenheid.

In een ring $R$ met een multiplicatieve identiteit $1$ heet een element een eenheid als het multiplicatieve inverse $v$ heeft in de ring, dus waarvoor geldt:

v u = u v = 1

De verzameling eenheden $U (R)$ van de ring vormt een groep, de eenhedengroep, onder de vermenigvuldiging van de ring.

Voorbeelden

De multiplicatieve identiteit $1$ en zijn additieve inverse $- 1$ zijn altijd eenheden.
Meer in het algemeen is elke eenheidswortel $r$ in een ring een eenheid, want als $r^{n} = 1$ , dan is $r^{n - 1} = 1$ een multiplicatieve inverse van $r$ .
In een niet-triviale ring is het nulelement $0$ geen eenheid, zodat de eenhedengroep $U (R)$ niet gesloten is onder optellen.
Een ring $R$ waarin elk element ongelijk aan $0$ een eenheid is (dat wil zeggen dat $U (R) = R ∖ {0}$ ) wordt een delingsring (of scheeflichaam (Ned)/lichaam (Be)) genoemd. Een commutatieve delingsring is een lichaam (Ned) / veld (Be). De eenhedengroep $U (ℝ)$ van het lichaam/veld $ℝ$ van de reële getallen is $ℝ ∖ {0}$ .
In de deelverzameling van de complexe getallen ${a + b i | a, b \in ℤ}$ , de zogeheten gehele getallen van Gauss, zijn 1, i, -1 en -i de eenheden.
In $ℂ [X]$ zijn de eenheden de constante niet-nul functies.

Gehele getallen

In de ring van gehele getallen $ℤ$ zijn $1$ en $- 1$ de enige eenheden.

In een getallenlichaam kunnen over het algemeen meer eenheden voorkomen. Zo is in de ring $ℤ [\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})]$ , die ontstaat door het kwadratisch geheel getal $\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})$ aan $ℤ$ toe te voegen:

(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1

dus zijn $\sqrt{5} + 2$ en $\sqrt{5} - 2$ eenheden. (In feite is de eenheidsgroep van deze ring oneindig. Aangezien toenemende machten van $\sqrt{5} + 2$ steeds groter worden en ook eenheden zijn, is de groep duidelijk niet-cyclisch.)

In feite beschrijft de eenheidsstelling van Dirichlet precies de structuur van $U (R)$ : de groep is isomorf met een groep in de vorm van een directe som

ℤ^{n} \oplus μ_{R}

waarbij $μ_{R}$ de eindige, cyclische groep van eenheidswortels is in $R$ , en $n = r + s - 1$ de rang van de eenhedengroep is, waarbij $r, s$ respectievelijk het aantal echte inbeddingen en het aantal paren complexe inbeddingen van $μ_{R}$ zijn.

Hiermee wordt het bovenstaande voorbeeld verbeterd: de eenhedengroep van een reëel kwadratisch lichaam/veld is oneindig van rang 1, aangezien $r = 2, s = 0$ .

In de ring $ℤ / n ℤ$ van gehele getallen modulo $n$ zijn de eenheden de congruentieklassen modulo $n$ gerepresenteerd door gehele getallen die copriem zijn met $n$ . Ze vormen de multiplicatieve groep van gehele getallen modulo $n$ .

Veeltermen en machtreeksen

Voor een commutatieve ring $R$ zijn de eenheden van de polynoomring $R [x]$ precies die polynomen

p (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots a_{n} x^{n}

waarvan $a_{0}$ een eenheid is in $R$ , en de resterende coëfficiënten $a_{1}, \dots, a_{n}$ nilpotente elementen zijn, d.w.z. voldoen $a_{i}^{N} = 0$ voor een of andere $N$ . ^[1] In het bijzonder, als $R$ een integriteitsdomein is (heeft geen nuldelers), komen de eenheden van $R [x]$ overeen met die van $R$ .

De eenheden van de ring van formele machteeksen $R [[x]]$ zijn precies die machtreeksen

p (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} x^{i}

waarvoor $a_{0}$ een eenheid is in $R$ . ^[2]

Matrixringen

De eenhedengroep van de ring $M (n, R)$ van $n \times n$ -matrices over een ring $R$ is de groep ${G L}_{n} (R)$ van inverteerbare matrices. Voor een commutatieve ring $R$ is een element $A$ van $M (n, R)$ dan en slechts dan inverteerbaar, als de determinant van $A$ inverteerbaar is in $R$ . In dat geval wordt $A^{- 1}$ expliciet gegeven door de regel van Cramer.

Algemeen

Als in een ring $R$ voor $x$ en $y$ het element $1 - x y$ inverteerbaar is, dan is ook $1 - y x$ inverteerbaar met inverse $1 + y (1 - x y)^{- 1} x$ .^[3] De uitdrukking voor de inverse kan begrepen worden, maar niet bewezen, door de volgende berekening in een niet-abelse ring van machtreeksen:

(1 - y x)^{- 1} = \sum_{n \geq 0} (y x)^{n} = 1 + y (\sum_{n \geq 0} (x y)^{n}) x = 1 + y (1 - x y)^{- 1} x

Eenhedengroep

De eenheden van een ring $R$ vormen een groep $U (R)$ onder vermenigvuldiging, de eenhedengroep van $R$ . Andere veel voorkomende notaties voor $U (R)$ zijn $R^{*}$ , $R^{\times}$ en $E (R)$ .

Een commutatieve ring is een lokale ring als $R ∖ U (R)$ een maximaal ideaal is. Het blijkt dat als $R ∖ U (R)$ een ideaal is, dan is het noodzakelijkerwijs een maximaal ideaal en is $R$ lokaal van $U (R)$ , aangezien een maximaal ideaal onsamenhangend is. Als $R$ een eindig lichaam/veld is, dan is $U (R)$ een cyclische groep van de orde $| R | - 1$ .

De formulering van de groep eenheden definieert een functor $U$ van de categorie van ringen naar de categorie van groepen: elk ringhomomorfisme $f : R \to S$ induceert een groepshomomorfisme $U (f) : U (R) \to U (S)$ , aangezien $f$ eenheden toewijst aan eenheden.

Geassocieerde elementen

De elementen $r$ en $s$ van een commutatieve ring $R$ heten geassocieerd als er een eenheid $u \in R$ bestaat waarvoor $r = u s$ , genoteerd als $r \sim s$ . In elke ring zijn paren van tegengestelde elementen $x$ en $- x$ geassocieerd. (De elementen $x$ en $- x$ zijn niet noodzakelijkerwijs verschillend. In de ring van gehele getallen modulo 6 bijvoorbeeld is $3 = - 3$ , hoewel $1 \neq - 1$ . Zo zijn 6 en −6 geassocieerd in $ℤ$ . Over het algemeen is $\sim$ een equivalentierelatie op $R$ .

Geassocieerdheid kan ook worden beschreven in termen van de groepswerking van $U (R)$ op $R$ via vermenigvuldiging: Twee elementen van $R$ zijn geassocieerd als ze zich in dezelfde $U (R)$ -baan bevinden. In een integriteitsdomein heeft de verzameling van geassocieerden van een gegeven niet-nul element dezelfde kardinaliteit als $U (R)$ .

Zie ook

Sjabloon:Appendix

↑ Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Theorem 11.1, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411
↑ Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Theorem 12.1, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411
↑ Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra 1 (2nd ed.), § 2.2. Exercise 4, Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.

[1] Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Theorem 11.1, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411

[2] Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Theorem 12.1, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411

[3] Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra 1 (2nd ed.), § 2.2. Exercise 4, Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.

[1]

[2]

[3]

Eenheid (algebra)

Inhoud

Eigenschappen

Voorbeelden

Veeltermen en machtreeksen

Matrixringen

Algemeen

Eenhedengroep

Geassocieerde elementen

Zie ook

Navigatiemenu

Eenheid (algebra)

Eigenschappen

Voorbeelden

Veeltermen en machtreeksen

Matrixringen

Algemeen

Eenhedengroep

Geassocieerde elementen

Zie ook

Navigatiemenu

Zoeken