Dedekind-zèta-functie

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de dedekind-zèta-functie van een algebraïsch getallenlichaam $K$, algemeen aangeduid door ${\zeta }_K(s)$, een generalisatie van de riemann-zèta-functie. De riemann-zèta-functie, die een speciaal geval is waarin $K$ het lichaam van de rationale getallen $\mathbb{Q}$ is.

In het bijzonder kan de dedekind-zèta-functie worden gedefinieerd als een dirichletreeks. De dedekind-zèta-functie heeft een euler-product-expansie, voldoet aan een functionaalvergelijking en heeft een analytische voortzetting tot een meromorfe functie op het complexe vlak $ℂ$ met slechts een enkelvoudige pool in $s=1$. De uitgebreide riemann-hypothese stelt dat $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)=1/2$ als ${\zeta }_K(s)=0$ en $0<\mathrm{R}\mathrm{e}(s)<1$.

De dedekind-zèta-functie is genoemd naar Richard Dedekind, die deze functie in zijn aanvulling op Johann Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie introduceerde.

Definitie

De dedekind-zèta-functie ${\zeta }_K(s)$ van het algebraïsch getallenlichaam $K$ is gedefinieerd voor complexe getallen $s$ met $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>1$, door de dirichletreeks:

${\zeta }_K(s)=\sum _{I\subseteq {𝒪}_K}\frac{1}{(N_{K/\mathbb{Q}}(I){)}^s}$

waarin $I$ als waarden de niet-nulzijnde idealen van de ring van de gehele getallen $O_K$ van $K$ heeft, en $N_{K/\mathbb{Q}}(I)$ de absolute norm van $I$ is (die is gelijk aan de index $[O_K:I]$ van $I$ in $O_K$ of equivalent aan de kardinaliteit van de quotiëntring $O_K/I$). Deze som convergeert absoluut voor alle complexe getallen $s$ met $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>1$.