Dirichletreeks

Een dirichletreeks, genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet, is in de wiskunde een reeks van de vorm:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s},$

waarin $s$ en de coëfficiënten $(a_n)$ complexe getallen zijn. De reeks wordt, bij gegeven coëfficiënten, opgevat als een complexe functie van het argument $s$.

Dirichletreeksen vinden toepassing in de analytische getaltheorie om getaltheoretische problemen met behulp van methoden uit de functietheorie te onderzoeken. Een bekend voorbeeld is de riemann-zèta-functie. Ze komen ook als voortbrengende functie voor.

Convergentie

De functie $f$ die bij gegeven $a_n$ bepaald wordt door de dirichletreeks:

$f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$,

heeft alleen betekenis voor waarden van $s$ waarvoor de reeks convergent is.

Is de rij $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ begrensd, dan is de reeks absoluut convergent op het open halfvlak waarin $\mathrm{\Re }(s)>1$. De functie $f$ is op dat halfvlak dan een analytische functie.

De riemann-zèta-functie

Als $a_n=1$ voor alle $n$, ontstaat de riemann-zèta-functie

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$,

die voor $s=1$ de harmonische reeks beschrijft en voor andere waarden van $s$ de hyperharmonische reeksen.