Laplace-operator

De laplace-operator, ook wel laplaciaan genoemd, is een differentiaaloperator genoemd naar de Franse wiskundige Pierre-Simon Laplace en aangeduid door het symbool ∆. In de natuurkunde vindt de operator toepassing bij de beschrijving van voortplanting van golven (golfvergelijking), bij warmtetransport en in de elektrostatica in de laplace-vergelijking. In de kwantummechanica stelt de laplace-operator de kinetische energie voor in de schrödingervergelijking. De functies waarvoor de laplaciaan gelijk is aan nul, worden in de wiskunde harmonische functies genoemd.

Voor een scalaire functie $f$ op een $n$ -dimensionale euclidische ruimte is de laplace-operator gedefinieerd door:

Δ f = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}}

Hierin staat $\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}$ voor de tweede partiële afgeleide naar de variabele $x_{i}$ .

Als operator schrijft men daarom wel:

Δ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}

.

Alternatief kan men schrijven:

Δ f = div (grad f)

Ook kan de laplace-operator (in rechthoekige coördinaten) uitgedrukt worden in de operator nabla (∇):

Δ = \nabla^{2} = \nabla \cdot \nabla

Laplaciaan in drie dimensies

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

Δ f = \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ \frac{\partial f}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial φ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

Δ f = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial φ^{2}}

Zij $f : ℝ^{3} \to ℝ$ de functie gedefinieerd door

f (x, y, z) = x^{2} + y z^{2}

Dan geldt:

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = 2 + 0 + 2 y = 2 + 2 y

Voor een vectorveld $A$ is de laplace-operator gedefinieerd als:

Δ A = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla \times (\nabla \times A) = grad (div A) - rot (rot A)

In gewone cartesische coördinaten is het het vectorveld met als componenten de laplaciaan van de componenten van $A,$ dus:

Δ A = Δ [\begin{matrix} A_{x} \\ A_{y} \\ A_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Δ A_{x} \\ Δ A_{y} \\ Δ A_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} A_{x}}{\partial z^{2}} \\ \frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} A_{y}}{\partial z^{2}} \\ \frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial z^{2}} \end{matrix}]

De laplace-operator is opgenomen in Unicode als U+2206.