Nabla

Nabla, of del, aangeduid door het symbool $\mathrm{\nabla }$, is een differentiaaloperator in de vectorrekening. De naam is afkomstig van een Assyrische benaming van een harp, die ongeveer de vorm van het gebruikte symbool heeft. Nabla wordt gebruikt als notatie voor de operatoren gradiënt, divergentie en rotatie.

In ${ℝ}^n$ met variabelen $x_1,x_2,\dots ,x_n$ correspondeert met cartesische coördinaten nabla met de volgende vector van partiële afgeleiden:

$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x_1},\frac{\partial }{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n})$

Er zijn regels om de werking van de nabla-operator in verschillende assenstelsels naar elkaar te converteren.

Toepassingen

Nabla wordt onder andere gebruikt in de volgende definities:

• gradiënt:	$\mathrm{grad}f=\mathrm{\nabla }f$
• divergentie:	$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$
• rotatie of rotor:	$\mathrm{rot}𝐕=\mathrm{\nabla }\times 𝐕$
• laplace-operator:	$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f)$
• hessiaan:	$H_f={\mathrm{\nabla }}^{2}f$

De operand $f$ is hier een scalair veld, terwijl de operanden $𝐅$ en $𝐕$ vectorvelden zijn. Of met ${\mathrm{\nabla }}^2$ de laplace-operator bedoeld wordt of de hessiaan is contextafhankelijk.

Voorbeeld

Zij $f:{ℝ}^3\to ℝ$ de functie gegeven door

$f(x,y,z)=xyz+x^2$

Dan is de gradiënt van $f$ in cartesische coördinaten:

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=(yz+2x,xz,xy)$

Coördinaatonafhankelijke definitie

Het is mogelijk nabla te definiëren onafhankelijk van het gebruikte coördinatensysteem. Daartoe generaliseert men de soortgelijke definitie van divergentie.

$\mathrm{\nabla }\star F=\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\oint \mathrm{d}S\star F$

Hierin is $F$ een scalaire functie, een vector- of een tensorveld, en $\star$ het bijbehorende product.

Unicode

De nabla is opgenomen in Unicode als U+2207 ∇.