Wishartverdeling

De wishartverdeling is een multivariate kansverdeling. De verdeling is in meer dimensies een generalisatie van de chi-kwadraatverdeling en bij een niet-geheel aantal vrijheidsgraden van de gamma-verdeling. De verdeling is genoemd naar John Wishart, die de verdeling voor het eerst formuleerde in 1928.

De wishartverdelingen vormen een familie van verdelingen van stochastische grootheden met als waarden symmetrische niet-negatief definiete matrices. Zij spelen een belangrijke rol bij de schattingen van covariantiematrices in de multivariate statistiek. In bayesiaanse statistiek is de wishartverdeling de geconjugeerde a-prioriverdeling van de inverse covariantiematrix van een meerdimensionaal normaalverdeelde stochastische vector.

Definitie

Zij $X$ een $n\times p$-matrix waarvan de rijen onderling onafhankelijk zijn en elke rij een steekproef is uit een $p$-dimensionale multivariate normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en covariantiematrix $V$.

$X_{(i)}=(X_{i1},\dots ,X_{ip})\sim N_p(0,V).$

De wishartverdeling is dan de kansverdeling van de stochastische $p\times p$-matrix $S=X^{T}X$, en men noteert;

$S\sim W_p(V,n).$

Het positieve gehele getal $n$ heet het aantal vrijheidsgraden. Voor $n\ge p$ is $S$ met kans 1 niet-inverterrbaar als $V$ niet-inverterrbaar is.

Voor $p=1$ en $V=1$ komt de wishartverdeling overeen met de chi-kwadraatverdeling met 1 vrijheidsgraad.

Kansdichtheid

Zij $V$ een positieve $p\times p$-matrix en $W$ een positief-definiete symmetrische stochastische $p\times p$-matrix die wishartverdeeld is met parameters $n\ge p$ en $V$:

$W\sim W_p(V,n)$

Dan wordt de kansdichtheid $f_W$ van $W$ gegeven wordt door:

$f_W(w)=\frac{\det (w{)}^{(n-p-1)/2}\exp (-\frac{1}{2}\mathrm{s}\mathrm{p}(V^{-1}w))}{2^{np/2}\det (V{)}^{n/2}{\mathrm{\Gamma }}_p(n/2)}$

Daarin staat $\det$ voor de determinant van een matrix, stelt $sp$ het spoor van een matrix voor, en is ${\mathrm{\Gamma }}_p$ de meerdimensionale gammafunctie, gedefinieerd door:

${\mathrm{\Gamma }}_p(\frac{1}{2}n)={\pi }^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^p\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(n+1-j))$

Eigenschappen

De matrix $V$ in de wishartverdeling $W_p(V,n)$ is een schaalparameter, in de zin dat als de stochastische matrix $W$ wishartverdeeld is met parameters $(p,n,V)$:

$W\sim W_p(V,n)$,

de gestandaardiseerde matrix $V^{-\frac{1}{2}}W{V}^{-\frac{1}{2}}$ wishartverdeeld is met parameters $(p,n,I_p)$:

$V^{-\frac{1}{2}}W{V}^{-\frac{1}{2}}\sim W_p(I_p,n)$,

waarin $I_p$ de $p$-dimensionale eenheidsmatrix is.

De wishartverdeling is reproductief, wat inhoudt dat als $W_1,\dots ,W_m$ onderling onafhankelijke wishartverdeelde matrices zijn, met

$W_i\sim W_p(V,n_i)$,

de som ook wishartverdeeld is met $n=n_1+\dots +n_m$ vrijheidsgraden:

$W_1+\dots +W_m\sim W_p(V,n)$