Von Mangoldt-functie

In de getaltheorie is de Von Mangoldt-functie een getaltheoretische functie, dus gedefinieerd op de positieve gehele getallen, opgesteld door en genoemd naar de Duitse wiskundige Hans von Mangoldt. De functie is alleen ongelijk aan 0 voor getallen die een macht van een priemgetal zijn, en heeft dan de waarde van de natuurlijke logaritme van dat priemgetal.

Definitie

De Von Mangoldt-functie, meestal genoteerd als $\mathrm{\Lambda }(n)$, is gedefinieerd door:

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p& \text{als }n=p^k\text{ voor een priemgetal }p\text{ en een geheel getal }k\ge 1,\\ \\ 0& \text{anders.}\end{array}$

De waarden van de functie vormen een rij die begint met:

$0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,0,\dots$

De exponenten van de functiewaarden zijn gelijk aan 1 of het enkele priemgetal waarvan het argument een macht is. Expliciet geldt:

$e^{\mathrm{\Lambda }(n)}=\frac{\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{v}\mathrm{(}\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{\dots },\mathrm{n}\mathrm{)}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{v}\mathrm{(}\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{\dots },\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}$

waarin $\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{v}$ het kleinste gemene veelvoud voorstelt.

De waarden vormen de rij

$1,2,3,2,5,1,7,2,3,\dots$

die te vinden is als A014963 in OEIS.

De Von Mangoldt-functie is een belangrijk voorbeeld van een getaltheoretische functie die noch multiplicatief, noch additief is. De functie voldoet aan de volgende identiteit:

$\log n=\sum _{d\mid n}\mathrm{\Lambda }(d)$.

De sommatie-index loopt dus over alle gehele getallen $d$ die deler zijn van $n$. Dit resultaat is een gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde, aangezien de termen die geen macht van een priemgetal zijn, gelijk zijn aan 0. Stel bijvoorbeeld dat $n=12$ met priemfactoren

$n=12=2^2\times 3$.

Dan is:

$\sum _{d\mid 12}\mathrm{\Lambda }(d)=\mathrm{\Lambda }(1)+\mathrm{\Lambda }(2)+\mathrm{\Lambda }(3)+\mathrm{\Lambda }(4)+\mathrm{\Lambda }(6)+\mathrm{\Lambda }(12)=$

$=\mathrm{\Lambda }(1)+\mathrm{\Lambda }(2)+\mathrm{\Lambda }(3)+\mathrm{\Lambda }(2^2)+\mathrm{\Lambda }(2\times 3)+\mathrm{\Lambda }(2^2\times 3)=$

$=0+\log 2+\log 3+\log 2+0+0=\log (2\times 3\times 2)=\log 12$.

De cumulatieve Von Mangoldt-functie, ook Chebyshev-functie, $\psi$, is gedefinieerd als

$\psi (x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)$.

Von Mangoldt gaf een streng bewijs voor een expliciete formule voor $\psi (x)$ met gebruikmaking van de som over de niet-triviale nulpunten van de Riemann-zèta-functie. Dit vormde een belangrijk deel van het eerste bewijs van de priemgetalstelling.

Zie ook

• Priemgetal-telfunctie

Externe links

• Sjabloon:Aut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
• Sjabloon:Aut, Primes out of thin air (2010)
• Sjabloon:Aut, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)