Toeplitz-operator

In de operatorentheorie, een deelgebied van de wiskundige analyse, is een Toeplitz-operator een lineaire operator in de Hardy-ruimte $H^2$ geassocieerd met een gegeven begrensde functie.

Definitie

We noteren de eenheidscirkel als de eendimensionale torus $𝕋,$ wat hetzelfde is als het gesloten interval $[0,2\pi ]$ met de eindpunten geïdentificeerd. $L^2(𝕋)$ is de Hilbertruimte van kwadratisch integreerbare complexwaardige periodieke functies met periode $2\pi .$ De Hardyruimte $H^2$ is hiervan een gesloten deelruimte. Zij $P$ de loodrechte projectie van vectoren van $L^2(𝕋)$ op $H^2.$

De Toeplitz-operator $T_{\phi }$ geassocieerd met een essentieel begrensde functie $\phi \in L^{\mathrm{\infty }}(𝕋)$ is het resultaat van de vermenigvuldiging met $\phi$ gevolgd door loodrechte projectie:

$T_{\phi }:H^2\to H^2:f\mapsto P(\phi f)$

Verband met Toeplitz-matrices

De meest gebruikte orthonormale basis voor $H^2$ bestaat uit de goniometrische functies

${\chi }_n:𝕋\to ℂ:t\mapsto e^{int},n\in \mathbb{N}$

Als $\phi$ een essentieel begrensde periodieke functie is met Fouriercoëfficiënten

$\hat{\phi }(n)=\frac{1}{2\pi }\underset{t=0}{\overset{2\pi }{\int }}\phi (t){\chi }_{-n}(t)dt$

dan worden de matrixelementen $a_{m,n}$ van $T_{\phi }$ ten opzichte van die orthonormale basis gegeven door

$a_{m,n}=(T_{\phi }{\chi }_n,{\chi }_m)=\frac{1}{2\pi }\underset{t=0}{\overset{2\pi }{\int }}\phi (t){\chi }_{m-n}(t)dt=\hat{\phi }(m-n).$

Met andere woorden is de matrix van $T_{\phi }$ constant op de diagonalen, wat precies de voorwaarde is voor een (eindige) Toeplitz-matrix.