Thèta-functie

In de wiskunde zijn thèta-functies een speciale klasse van functies van meerdere complexe variabelen.

Thèta-functies spelen een rol in de theorie van de elliptische functies en kwadratische vormen. De eerste wiskundige die thèta-functies systematisch onderzocht was Carl Gustav Jacob Jacobi.

Definitie

Klassieke thètafunctie

De klassieke jacobische thètafunctie wordt gedefinieerd door

$\mathrm{\Theta }(z,\tau ):=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i{n}^2\tau +2\pi inz}$

Moderne definitie volgens Whittaker en Watson:

${\vartheta }_{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-y^{2n})[1+2\cos (2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]$

${\vartheta }_{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-y^{2n})[1-2\cos (2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]$

${\vartheta }_{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos (x)\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-y^{2n})[1+2\cos (2x)y^{2n}+y^{4n}]$

Zie ook

• Ramanujan-thètafunctie

Literatuur

• Sjabloon:De Adolf Krazer: Lehrbuch der Thetafunktionen (Leerboek van de Thetafuncties) Leipzig: B. G. Teubner, 1903.
• Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. pp. 469-470