Ramanujan-thètafunctie

In de wiskunde veralgemeent de Ramanujan-thètafunctie de vorm van de jacobische thèta-functies, met behoud van hun algemene eigenschappen. In het bijzonder neemt het Jacobi-drievoudig product een bijzonder elegante vorm aan wanneer het geschreven wordt in termen van de Ramanujan-thètafunctie. De functie is vernoemd naar Srinivasa Aaiyangar Ramanujan.

Definitie

De Ramanujan-thètafunctie is gedefinieerd als

$f(a,b)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n(n+1)/2}{b}^{n(n-1)/2}$

voor $|ab|<1.$ De identiteit van het Jacobisch-drievoudige product neem dan de vorm aan van

$f(a,b)=(-a;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(-b;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty }}.$

Daarin is de uitdrukking $(a;q{)}_n$het q-Pochhammersymbool. Identiteiten die hieruit volgen, zijn onder meer

$f(q,q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{(-q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}{(-q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}},$

$f(q,q^3)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n(n+1)/2}=\frac{(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}$

en

$f(-q,-q^2)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(3n-1)/2}=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}$

Deze laatste is de Euler-functie, die nauw verwant is aan de Dedekind-η-functie.