Symmetriesoorten van polykubussen

Een polykubus is een 3-dimensionale, samenhangende figuur bestaande uit kubussen die een grensvlak (vierkant) gemeen hebben. Het bekendere 2-dimensionale equivalent is het polyomino. De meeste polykubussen zijn asymmetrisch, maar vele hebben een of andere symmetrie. Die symmetrie is altijd een van de 33 symmetriesoorten van de kubus. Die symmetriesoorten zijn dus ook de symmetriesoorten van polykubussen.

Symmetriesoort r2sxAs: Draaispiegeling over 90° t.o.v. een as (4-voudig). De kleuren moeten genegeerd worden.

Inleiding

Over polykubussen bestaat veel Engelstalige literatuur. In het Nederlands is er betrekkelijk weinig. Er zijn tal van puzzels met polykubussen. Het aantal polykubussen bestaande uit n kubussen kan op verschillende manieren worden geteld. Een interessante eigenschap van een polykubus is de symmetrie.

Het aantal polykubussen $P_n$

Het aantal polykubussen $P_n$ bestaande uit n kubussen is afhankelijk van welke $P_n$ als verschillend worden beschouwd. Hier worden twee $P_n$als verschillend gezien als zij niet in elkaar kunnen overgaan middels een translatie en/of een rotatie en/of een spiegeling. Dit wordt wel aangeduid met vrije polykubussen. De genoemde aantallen betreffen bovendien uitsluitend $P_n$ die werkelijk 3-dimensionaal zijn. In wezen 2-dimensionale (en 1-dimensionale) polyominoes worden dus niet meegeteld.

Polykubussen kunnen ook uitsluitend als gelijk worden beschouwd als zij middels een translatie in elkaar kunnen overgaan. Dan wordt gesproken van vaste polykubussen.

Het aantal vrije en vaste polykubussen

Aantal $P_n$, n=4..11

n	4	5	6	7	8	9	10	11
Vrije $P_n$	2	11	77	499	3442	24128	173428	1262464
Vaste $P_n$	32	348	2836	21225	154741	1123143	8185403	60088748

Het aantal vrije $P_n$ is bekend tot minstens $n$=16. Het aantal vaste $P_n$ is bekend tot minstens $n$=19.

Het aantal polykubussen wordt ook op andere manieren geteld. Vaak wordt spiegelsymmetrisch buiten beschouwing gelaten, met name 3-dimensionaal, maar ook 2-dimensionaal.

De symmetriesoorten van polykubussen

De meeste $P_n$ zijn asymmetrisch. Veel $P_n$ hebben een of meer symmetrieën, d.w.z. dat na bepaalde operaties op de polykubus de figuur er precies hetzelfde uitziet: het beeld is niet van het origineel te onderscheiden. Deze symmetrische operaties vormen niet zo maar een verzameling. De verzameling vormt een wiskundige groep. Deze groep is een ondergroep van $K_3$, de symmetriegroep van de kubus. De ondergroep behoort tot een bepaalde klasse van geconjugeerde ondergroepen die samen de symmetriesoort van de polykubus vormen.

De orde van een symmetriesoort

Een $P_n$ is $m$-voudig symmetrisch als de orde van de symmetriesoort $m$ is. Elke ondergroep in de symmetriesoort heeft diezelfde orde $m$, het aantal operaties in de ondergroep.

Aantal polykubussen per symmetriesoort

Aantal $P_n$ per symmetriesoort, n=4..11

symmetriesoort	orde	4	5	6	7	8	9	10	11	4-11
Totaal $P_n$	1-48	2	11	77	499	3442	24128	173428	1262464	1464051
r1Asym	1	0	4	46	394	3025	22707	167732	1241417	1435325
r22As	2	0	0	3	4	37	52	342	502	940
r44As	4	0	0	0	0	0	0	0	0	0
r22Diag	2	1	2	5	17	49	138	374	1062	1648
r33Lich	3	0	0	0	1	0	1	9	1	12
r222As	4	0	0	0	0	0	0	1	1	2
r222DiagAs	4	0	0	0	0	0	0	1	2	3
r332LichAs	12	0	0	0	0	0	0	0	0	0
r422AsDiag	8	0	0	0	0	0	0	0	0	0
r322LichDiag	6	0	0	0	0	0	0	1	0	1
r432Alle	24	0	0	0	0	0	0	0	0	0
s11As	2	0	1	8	42	204	903	3968	16926	22052
s11Diag	2	0	3	6	26	72	241	623	2028	2999
s22As	4	0	0	0	2	9	23	68	161	263
s44As	8	0	0	1	1	2	3	6	7	20
s22Diag	4	0	0	1	0	2	2	12	9	26
s33Lich	6	1	0	0	2	0	1	6	2	12
s22DiagAs	4	0	1	2	5	8	22	39	95	172
s332LichDiag	24	0	0	0	0	0	0	0	0	0
s222As	8	0	0	0	0	0	1	0	3	4
s422As	16	0	0	0	0	0	1	1	4	6
s222DiagAs	8	0	0	0	0	1	1	1	2	5
r2s11As	4	0	0	0	1	3	7	20	43	74
r4s11As	8	0	0	0	0	0	0	0	0	0
r2s11Diag	4	0	0	2	1	6	5	26	17	57
r2s2AsDiag	8	0	0	0	0	1	0	0	0	1
r2s2DiagAs	8	0	0	1	1	2	3	5	6	18
r3s2LichAs	24	0	0	0	0	0	0	0	0	0
r2s3DiagLich	12	0	0	1	0	0	0	0	0	1
sx	2	0	0	1	1	20	17	192	175	406
r2sxAs	4	0	0	0	0	0	0	1	1	2
r3sxLich	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0
s432Alle	48	0	0	0	1	1	0	0	0	2

Aantal polykubussen per symmetrieorde

Aantal $P_n$ per symmetrieorde, n=4..11

$m$-voudig	4	5	6	7	8	9	10	11	4-11
1	0	4	46	394	3025	22707	167732	1241417	1435325
2	1	6	23	90	382	1351	5499	20693	28045
3	0	0	0	1	0	1	9	1	12
4	0	1	5	9	28	59	168	329	599
6	1	0	0	2	0	1	7	2	13
8	0	0	2	2	6	8	12	18	48
12	0	0	1	0	0	0	0	0	1
16	0	0	0	0	0	1	1	4	6
24	0	0	0	0	0	0	0	0	0
48	0	0	0	1	1	0	0	0	2
1-48	2	11	77	499	3442	24128	173428	1262464	1464051

Aantallen polykubussen zonder spiegelsymmetrie

Juist in drie dimensies worden spiegelsymmetrieën vaak buiten beschouwing gelaten. In de Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) staan meerdere reeksen met bepaalde aantallen polykubussen waarbij dit het geval is. Die aantallen komen dan uiteraard niet overeen met bovenstaande aantallen. De reeksen met aantallen polykubussen per symmetrieorde geven dus andere getallen. De enige reeks die (toevallig) overeen komt is de reeks met het aantal polykubussen dat 24-voudig symmetrisch is. Als alleen rotatiesymmetrieën worden geteld is dit de hele symmetriegroep van een kubus. Deze $P_n$ zijn dus volledig symmetrisch. Aangezien het aantal bij elke $n$ hooguit één is, zijn deze $P_n$ ook spiegelsymmetrisch en de reeks is dan ook gelijk aan 48-voudig symmetrisch hierboven. De andere aantallen die in OEIS bij rotatiesymmetrieën worden gegeven zijn niet direct in verband te brengen met de hier genoemde aantallen die inclusief spiegelsymmetrie zijn.

Alle symmetriesoorten hebben polykubussen

Het is misschien niet direct vanzelfsprekend dat elke mogelijke symmetriesoort van een polykubus inderdaad voorkomt. Toch is dat het geval.

Bewijs

Neem een polykubus $P$ van 7*7*7. Neem de oorsprong als middelpunt en de coördinaten van de eenheidskubussen [-3 .. 3]. Eenheidskubus $k$=[-3,-2,-1] ligt asymmetrisch op $P$. D.w.z. alle 48 symmetrische operaties op $P$ beelden $k$ af op een andere positie. Kleur de eenheidskubussen van $P$ wit, alleen $k$ en de afbeeldingen van $k$ onder de te realiseren symmetriesoort $S$ geel. Het aantal gele eenheidskubussen op $P$ is dan gelijk aan de orde van $S$. De zo geconstrueerde $P$ heeft symmetriesoort $S$. De tekening van de symmetriesoorten van de kubus hieronder is op deze manier tot stand gekomen. Ter illustratie is alleen de kleur van $k$ niet geel maar groen.

Tekening van de symmetriesoorten

De 33 mogelijke symmetriesoorten van een (poly)kubus, gevisualiseerd op een 7*7*7 polykubus

Kubus symmetriesoorten

Ontbrekend: Volledig symmetrisch (48-voudig).

Enkele interessante symmetriesoorten met voorbeelden

Zoals uit de tabel blijkt zijn er van een aantal symmetriesoorten geen polykubussen $P_{n<12}$. Enkele symmetriesoorten zijn interessant omdat er slechts weinig $P_{n<12}$ zijn met die symmetriesoort.

Symmetriesoort r33Lich (orde 3)

Rotatie over 120° om een lichaamsdiagonaal. Deze symmetriesoort heeft 4 ondergroepen, een voor elke lichaamsdiagonaal van een kubus. Er zijn geen $P_{n<7}$ met deze symmetrie.

• 
  Polykubus[$n$=7]
• 
  Polykubus[$n$=10]
• 
  Polykubus[$n$=11]

Dit is de enige $P_7$ met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rxYz, rxYz2, e.

Symmetriesoort s422As (orde 16)

Spiegelingen t.o.v. alle coördinaatassen plus een stel diagonalen. Deze symmetriesoort heeft 3 ondergroepen, een per coördinaatas als snijlijn van vier spiegelvlakken. Er zijn geen $P_{n<9}$ met deze symmetrie.

• 
  Polykubus[$n$=9]
• 
  Polykubus[$n$=9]
• 
  Polykubus[$n$=11]
• 
  Polykubus[$n$=11]

Dit is de enige $P_9$ met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rz, rz2, rz3, rx2, ry2, rxy, rxY, sx, sy, sz, sxy, sxY, sO, rsz, rsz3, e.

Symmetriesoort r2s11As (orde 4)

Spiegeling+rotatie over 180° t.o.v. een as. Deze symmetriesoort heeft 3 ondergroepen, een per coördinaatas. Er zijn geen $P_{n<7}$ met deze symmetrie.

• 
  Polykubus[$n$=7]
• 
  Polykubus[$n$=7]

Dit is de enige $P_7$ met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rx2, sx, sO, e.

Symmetriesoort r2s2AsDiag (orde 8)

Diagonaalspiegelingen+asrotaties over 180°. Deze symmetriesoort heeft 3 ondergroepen, een per coördinaatas als snijlijn van de spiegelvlakken.

• 
  Polykubus[$n$=8]
• 
  Polykubus[$n$=8]

Deze $P_8$ is de enige $P_{n<12}$ met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rx2, ry2, rz2, syz, syZ, rsx, rsx3, e.

Symmetriesoort r2sxAs (orde 4)

Draaispiegeling over 90° t.o.v. een as. Deze symmetriesoort heeft 3 ondergroepen, een voor elke coördinaatas.

• 
  Polykubus[$n$=10]
• 
  Polykubus[$n$=11]

De twee $P_{n<12}$ polykubussen met deze symmetriesoort. De symmetrische operaties zijn: rsz,rz2,rsz3,e.

Zie ook

Symmetriegroep van de kubus

Literatuur

W. F. Lunnon: "Symmetry of Cubical and General Polyominoes",hoofdstuk in Graph Theory and Computing, editor Ronald C. Read, 1972

W. F. Lunnon: "Counting multidimensional polyominoes", artikel in The Computer Journal, Volume 18, Issue 4, 1975, Pages 366–367